coup la probabilité qu’il arrivera dans ce cas au coup sera et la probabilité qu’il n’arrivera pas au coup sera la valeur partielle de relative à ce cas sera donc Mais la probabilité que l’événement composé arrivera précisément au coup est c’est la valeur de ce qui donne
est donc la valeur partielle de relative au cas où l’événement simple arrivera au coup sans arriver au coup
On trouvera de la même manière que est la valeur partielle de relative au cas où l’événement simple arrivera aux coups et sans arriver au coup et ainsi de suite.
En réunissant toutes ces valeurs partielles de on aura
Il est facile d’en conclure que la fonction génératrice de est
car cette fonction génératrice est
ou
La fonction doit être déterminée par la condition qu’elle ne doit renfermer que la puissance de puisque l’événement composé ne peut commencer à être possible qu’au coup de plus, le coefficient de cette puissance est la probabilité que cet événement aura lieu précisément à ce coup.