d’abord
invariables, et que
puisse s’étendre indéfiniment depuis zéro ; alors, si l’on fait
![{\displaystyle s+1-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i}=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bade8804305fa3ebdcf8302a2922161a8e3ea11f)
en intégrant cette variable dont la différence finie est l’unité, on aura
pour son intégrale ; mais, pour avoir la somme de toutes les valeurs de
il faut, comme l’on sait, ajoutera à cette intégrale ; cette somme est donc
Il faut y faire
égal à sa plus grande valeur, que l’on obtient en faisant
nul dans la fonction
ainsi le nombre total des combinaisons relatives aux variations de
et
est
![{\displaystyle {\frac {\left(s+2-t_{4}-t_{5}-\ldots -t_{i}\right)\left(s+1-t_{4}-t_{5}-\ldots -t_{i}\right)}{1.2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630293d0faa7bdde1cb027216dfdb7386055b9)
En faisant encore dans cette fonction
![{\displaystyle s+2-t_{4}-t_{5}-\ldots -t_{i}=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347773a4e3e9fc5f48fb170695528e725c1c9b85)
elle devient
en l’intégrant depuis
et en ajoutant la fonction elle-même à cette intégrale, on aura
la valeur de
nulle répond à
et sa plus grande valeur répond à
nul, et par conséquent elle est égale à
en substituant donc pour
cette valeur dans l’intégrale précédente, on aura
![{\displaystyle {\frac {\begin{aligned}&\left(s+3-t_{5}-t_{6}-\ldots -t_{i}\right)\left(s+2-t_{5}-t_{6}-\ldots -t_{i}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(s+1-t_{5}-t_{6}-\ldots -t_{i}\right)\end{aligned}}{1.2.3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65469823fb0193c14ec01fbf91a9c33c7a8098e)
pour la somme de toutes les combinaisons relatives aux variations de
En continuant ainsi, on trouvera généralement que le nombre total des combinaisons qui donnent l’équation (1), dans la supposition où les variables
peuvent s’étendre indéfiniment depuis zéro, est
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad {\frac {(s+i-1)(s+i-2)(s+i-3)\ldots (s+1)}{1.2.3\ldots (i+1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727b4ca6a75ce1f660fc6755ee6cc15e5cb3257d)