Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules blanches contenues dans l’urne après tirages. Cette valeur est la somme de tous les nombres possibles de boules blanches, multipliés par leurs probabilités respectives ; elle est donc égale à
l’intégrale étant prise depuis jusqu’à Cette valeur est ainsi
par conséquent, elle est la même que la valeur de la plus probable.
Considérons maintenant deux urnes et renfermant chacune le nombre de boules, et supposons que, dans le nombre total des boules, il y en ait autant de blanches que de noires. Concevons que l’on tire en même temps une boule de chaque urne, et qu’en suite on mette dans une urne la boule extraite de l’autre. Supposons que l’on répète cette opération un nombre quelconque de fois, en agitant à chaque fois les urnes, pour en bien mêler les boules ; et cherchons la probabilité qu’après ce nombre d’opérations, il y aura boules blanches dans l’urne
Soit cette probabilité. Le nombre des combinaisons possibles dans opérations est car à chaque opération les boules de l’urne peuvent se combiner avec chacune des boules de l’urne ce qui produit combinaisons ; est donc le nombre des combinaisons dans lesquelles il peut y avoir boules blanches dans l’urne après ces opérations. Maintenant, il peut arriver que l’opération ième fasse sortir une boule blanche de l’urne et y fasse rentrer une boule blanche ; le nombre de cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de par le nombre des boules blanches de l’urne et par le nombre des boules blanches qui doivent être alors dans l’urne puisque le nombre total des boules blanches des deux urnes est Dans tous ces cas, il reste boules blanches dans
