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on aura

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {2n\pi }}}c^{-{\frac {1}{2}}(\mu -a)^{2}}.$

Supposons maintenant qu’après un nombre quelconque de tirages on ait

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {n{\text{ϐ}}\pi }}}c^{-{\frac {(\mu -\alpha )^{2}}{\text{ϐ}}}},$

ϐ et $\alpha$ étant des fonctions de $r'.$ Si l’on substitue cette valeur dans l’équation aux différences partielles en $\mathrm {U} ,$ on aura

${\begin{aligned}-&{\frac {d{\text{ϐ}}}{dr'}}\left[1-{\frac {2(\mu -\alpha )^{2}}{\text{ϐ}}}\right]+4{\frac {d\alpha }{dr'}}(\mu -\alpha )\\&=4({\text{ϐ}}-1)\left[1-{\frac {2(\mu -\alpha )^{2}}{\text{ϐ}}}\right]-8\alpha (\mu -\alpha ),\end{aligned}}$

d’où l’on tire les deux équations suivantes :

${\frac {\cfrac {d{\text{ϐ}}}{dr'}}{{\text{ϐ}}-1}}=-4,\qquad {\frac {d\alpha }{dr'}}=-2\alpha .$

En les intégrant et observant qu’à l’origine de $r',\ \alpha =a$ et ϐ$=2,$ on aura

${\text{ϐ}}=1+c^{-4r'},\qquad \alpha =ac^{-2r'},$

ce qui donne

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {n\pi \left(1+c^{-4r'}\right)}}}c^{-{\frac {\left(\mu -ac^{-2r'}\right)^{2}}{1+c^{-4r'}}}}.$

Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules blanches contenues dans l’urne $\mathrm {A} ,$ après $r$ tirages. Cette valeur est la somme des produits des divers nombres des boules blanches, multipliées par leurs probabilités respectives ; elle est donc égale à l’intégrale

$\int {\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}}\mathrm {U} {\frac {d\mu {\sqrt {n}}}{2}},$

prise depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty .$ En substituant pour $\mathrm {U}$ sa valeur