bilité par la probabilité
de
l’intégrale
prise depuis
nul jusqu’à
sera l’accroissement de
est le prix de l’urne
en nommant donc
ce prix,
sera l’accroissement de
on aura donc
![{\displaystyle dz=z'dr'-zdr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec83eb7870de216743f370d492b7a43c350bb1af)
La somme des prix des deux urnes est évidemment égale à
nombre des boules blanches qu’elles contiennent, ce qui donne
substituant cette valeur de
dans l’équation précédente, elle devient
![{\displaystyle dz=(n-2z)dr'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdea58f0762029857f3b5d5f27443b20435fb5e6)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle z={\frac {1}{2}}n+{\frac {\mathrm {L} ^{(0)}}{4c^{2r'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778dcb71818055ef85021a029d7704b293996966)
étant une constante arbitraire, ce qui est conforme à ce qui précède.
On peut étendre toute cette analyse au cas d’un nombre quelconque d’urnes ; nous nous bornerons ici à chercher la valeur moyenne du nombre des boules blanches que chaque urne contient après
tirages.
Considérons un nombre
d’urnes, disposées circulairement, et renfermant chacune le nombre
de boules, les unes blanches, et les autres noires,
étant supposé un très grand nombre. Supposons qu’après
tirages, ![{\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0669365b4a9c6d7fccdea1b76926bd13813689)
soient les prix respectifs des diverses urnes. Chaque tirage consiste à extraire en même temps une boule de chaque urne et à la mettre dans la suivante, en partant de l’une d’elles dans un sens déterminé. Si l’on fait
et
on aura, par le raisonnement que nous venons de faire relativement à deux urnes,
![{\displaystyle dz_{i}=\left(z_{i-1}-z_{i}\right)dr'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d365ad905e493613728af6749a0bd21affb67aa)
cette équation a lieu depuis
jusqu’à
Dans le cas de
on a
![{\displaystyle dz_{0}=(z_{e-1}-z_{0})dr'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1740d097da3dee293aeaa4a50e23c886d6780b9c)