Maintenant la probabilité que la somme des erreurs des
observations sera comprise dans les limites
est, comme il est facile de s’en assurer par les raisonnements précédents,
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\iint d\varpi dl\cos l\varpi \left\{{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)\cos \varpi &+2\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)\cos 2\varpi \\+\ldots &+2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)\cos n\varpi \end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9acd8f4250cbb1b9243a78a8d591e1d973b222)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
cette probabilité est donc
![{\displaystyle (u)\qquad \qquad 2{\frac {(nk)^{s}}{\pi }}\iint d\varpi dl\cos l\varpi \left(1-{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}-\ldots \right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2da4c40c1de7d00712b5a5eb9e6c6279a0fb9a7)
Supposons
![{\displaystyle \left(1-{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}-\ldots \right)^{s}=c^{-t^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6ac5509f2ea7b9b86ac26ddf1408255266ed15)
en prenant les logarithmes hyperboliques, on aura, à très peu près, lorsque
est un grand nombre,
![{\displaystyle s{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}=t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981d8c1ab95721a39074d2318b23249969ab6665)
ce qui donne
![{\displaystyle \varpi ={\frac {t}{n}}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e260d93436d0e54e8b46387a75e69b1bcfadb568)
Si l’on observe ensuite que,
ou
exprimant la probabilité que l’erreur d’une observation est comprise dans les limites
cette quantité doit être égale à l’unité, la fonction
deviendra
![{\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\iint dldtc^{-t^{2}}\cos \left({\frac {lt}{n}}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dd05a1160a84863e2ada3ecaf97cdf77f3602d)
l’intégrale relative à
devant être prise depuis
nul jusqu’à
ou jusqu’à
étant supposé infini. Or on a, par le no 25 du Livre Ier,
![{\displaystyle \int dt\cos \left({\frac {lt}{n}}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\right)c^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}c^{-{\frac {l^{2}}{4n^{2}}}{\frac {k}{k''s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc4d061cea7fe21d12dc439ae53e9f62865e86c)