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signe, est $l+\mu s\,;$ cette probabilité est donc

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{-(l+\mu s)\varpi {\sqrt {-1}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)c^{\varpi {\sqrt {-1}}}&+2\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)c^{2\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)c^{n\varpi {\sqrt {-1}}}\end{aligned}}\right\},$

l’intégrale relative à $\varpi$ étant prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi \,;$ car, dans cet intervalle, l’intégrale $\int d\varpi c^{-r\varpi {\sqrt {-1}}}$ ou

$\int d\varpi \left(\cos r\varpi -{\sqrt {-1}}\sin r\varpi \right)$

disparaît, quel que soit $r,$ pourvu qu’il ne soit pas nul.

On a, en développant par rapport aux puissances de $\varpi ,$

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&\log \left\{c^{-\mu s\varpi {\sqrt {-1}}}\left[\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)c^{\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots +2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)c^{n\varpi {\sqrt {-1}}}\right]^{s}\right\}\\&=s\log \left\{{\begin{aligned}&\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)+\ldots +2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)\\+&2\varpi {\sqrt {-1}}\left[\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)+2\ \varphi \left({\frac {2}{n}}\right)+\ldots +n\ \varphi \left({\frac {n}{n}}\right)\right]\\&\quad -\varpi ^{2}\left[\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)+2^{2}\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)+\ldots +n^{2}\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)\right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&\qquad -\mu s\varpi {\sqrt {-1}}.\\\end{aligned}}\right.$

En faisant donc

${\frac {x}{n}}=x',\qquad {\frac {1}{n}}=dx',$

on a

${\begin{alignedat}{3}2\int dx'\varphi (x')=&k,\qquad &\int x'dx'\varphi (x')=&k',\qquad &\int x'^{2}dx'\varphi (x')=&k'',\\\int x'^{3}dx'\varphi (x')=&k''',&\int x'^{4}dx'\varphi (x')=&k^{\text{ıv}},&\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{alignedat}}$

les intégrales étant prises depuis $x'$ nul jusqu’à $x'=1\,;$ le second membre de l’équation (1) devient

$s\log nk+s\log \left(1+{\frac {2k'}{k}}n\varpi {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}-\ldots \right)-\mu s\varpi {\sqrt {-1}}.$

L’erreur de chaque observation devant tomber nécessairement dans les