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le signe $\mathrm {S}$ s’étendant ici, comme dans le numéro précédent, à toutes les valeurs de $i,$ depuis $i=0$ jusqu’à $i=s-1.$

Si l’on suppose nulles les deux fonctions $\mathrm {S} m^{(i)}\varepsilon ^{(i)},\mathrm {S} n^{(i)}\varepsilon ^{(i)},$ fonctions que nous désignerons respectivement par $(m)$ et $(n),$ les deux équations finales précédentes donneront les corrections $z$ et $z'$ des deux éléments. Mais ces corrections sont susceptibles d’erreurs, relatives à celle dont la supposition que nous venons de faire est elle-même susceptible. Concevons donc que les fonctions $(m)$ et $(n),$ au lieu d’être nulles, soient respectivement $l$ et $l',$ et nommons $u$ et $u'$ les erreurs correspondantes des corrections $z$ et $z'$ déterminées par ce qui précède ; les deux équations finales deviendront

${\begin{aligned}l=&u.\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}+u'.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)},\\l'=&u.\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}+u'.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}.\end{aligned}}$

Il faut maintenant déterminer les facteurs $m,m^{(1)},\ldots ,n,n^{(1)},\ldots ,$ de manière que l’erreur moyenne à craindre sur chaque élément soit un minimum. Pour cela, considérons le produit

${\begin{aligned}\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{-(m\varpi +n\varpi ')x{\sqrt {-1}}}&\times \int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{-(m^{(1)}\varpi +n^{(1)}\varpi ')x{\sqrt {-1}}}\times \ldots \\&\times \int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{-(m^{(s-1)}\varpi +n^{(s-1)}\varpi ')x{\sqrt {-1}}},\end{aligned}}$

le signe $\int$ se rapportant à toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=-a$ jusqu’à $x=a\,;\ \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)$ étant, comme dans le numéro précédent, la probabilité de l’erreur $x,$ ainsi que de l’erreur $-x.$ La fonction précédente devient, en réunissant les deux exponentielles relatives à $x$ et à $-x$,

${\begin{aligned}2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos(mx\varpi +nx\varpi ')&\times 2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(1)}x\varpi +n^{(1)}x\varpi '\right)\\\times \ldots \times 2&\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(s-1)}x\varpi +n^{(s-1)}x\varpi '\right),\end{aligned}}$

le signe $\int$ s’étendant ici à toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=0$ jus-