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En substituant pour $a{\sqrt {\frac {k''}{k\pi }}}$ la quantité ${\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}$ à laquelle on peut, par le n^o 20, le supposer égal, $\varepsilon ,\varepsilon ^{(i)},\ldots$ étant ce qui reste dans les équations de condition après y avoir substitué les corrections données par la méthode des moindres carrés des erreurs, l’erreur moyenne à craindre sur le premier élément est

$\pm {\frac {{\sqrt {\cfrac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}}}.$

L’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur le second élément est

$\pm {\frac {{\sqrt {\cfrac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}}},$

d’où l’on voit que le premier élément est plus ou moins bien déterminé que le second, suivant que $\mathrm {S} q^{(i)2}$ est plus petit ou plus grand que $\mathrm {S} p^{(i)2}.$

Si les $r$ premières équations de condition ne renferment point $q,$ et si les $s-r$ dernières ne renferment point $p,$ alors $\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}=0,$ et les formules précédentes coïncident avec celle du numéro précédent.

On peut obtenir ainsi l’erreur moyenne à craindre sur chaque élément déterminé par la méthode des moindres carrés des erreurs, quel que soit le nombre des éléments, pourvu que l’on considère un grand nombre d’observations. Soient $z,z',z'',z''',\ldots$ les corrections de chaque élément, et représentons généralement les équations de condition par la suivante :

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'+r^{(i)}z''+t^{(i)}z'''+\ldots -\alpha ^{(i)}.$

Dans le cas d’un seul élément, l’erreur moyenne à craindre est, comme on l’a vu,

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \pm {\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}}}}.$

Lorsqu’il y à deux éléments, on aura l’erreur moyenne à craindre sur