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${\frac {k'^{2}}{n}},$ et faisons $t=r{\sqrt {n}}\,;$ on aura

$(\varepsilon ''')\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int k'drc^{-k'^{2}r^{2}},$

pour l’expression de la probabilité que le nombre de parties de deux coups sera compris dans les limites

$n\left[a^{2}+(1-a)^{2}\right]\pm r{\sqrt {n}},$

l’intégrale étant prise depuis $r$ nul. L’intervalle de ces deux limites est $2r{\sqrt {n}},$ et le rapport de cet intervalle au nombre $n$ de parties est ${\frac {2r}{\sqrt {n}}}.$ Ce rapport diminue sans cesse à mesure que $n$ augmente, et $r$ peut en même temps croître indéfiniment, de sorte que l’intégrale précédente approche indéfiniment de l’unité.

Le nombre total des coups est le triple du nombre des parties de trois coups, plus le double du nombre des parties de deux coups, ou le triple du nombre total $n$ des parties, moins le nombre des parties de deux coups ; il est donc

$2n\left(1+a-a^{2}\right)\mp r{\sqrt {n}}.$

L’intégrale $(\varepsilon ''')$ est donc l’expression de la probabilité que le nombre des coups sera compris dans ces limites.

Si, au lieu de connaître le nombre $i$ des parties gagnées par le joueur $\mathrm {A}$ et le nombre total $n$ de parties, on connaît le nombre $i$ et le nombre total des coups, la même analyse pourra servir à déterminer le nombre inconnu $n$ des parties. Pour cela, désignons par $h$ le nombre total des coups ; on aura, par ce qui précède, les deux équations

${\begin{aligned}3n&-{\frac {i}{3-2a}}-{\frac {n-i}{1+2a}}=h\pm r{\sqrt {n}},\\{\frac {1}{a}}&-{\frac {i}{3-2a}}={\frac {n-i}{1-a}}-{\frac {n-i}{1+2a}}.\end{aligned}}$