nomme
le capital relatif à l’âge
et
le capital relatif à l’âge
on a
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\frac {y_{1}}{y_{0}}}{\frac {\mathrm {F} '+h}{1+r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7469c1e5f647386e7991f6b7c96aeb9f2cff8896)
Mais ce procédé se simplifie lorsque la loi de mortalité est connue, et surtout lorsqu’elle est donnée par une fonction rationnelle et entière de
ce qui est toujours possible, en considérant les nombres de la Table de mortalité comme des ordonnées dont les âges correspondants sont les abscisses, et en faisant passer une courbe parabolique par les extrémités des deux ordonnées extrêmes et de plusieurs ordonnées intermédiaires. Les différences qui existent entre les diverses Tables de mortalité permettent de regarder ce moyen comme aussi exact que ces Tables, et même de s’en tenir à un petit nombre d’ordonnées.
Faisons
![{\displaystyle {\frac {1}{1+r}}=p,\qquad {\frac {y_{x}}{y_{0}}}=u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9412e26d9ca00bff6e9a6c4e2c253338fa2287c2)
reprenons la formule (16) du no 11 du Livre Ier qui donne
![{\displaystyle \sum p^{x}u={\frac {p^{x}}{pc^{\frac {du}{dx}}-1}}+f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ed82e2d5a14b024f4647c87c18561fc467efb8)
étant une constante arbitraire. Il faut, dans le développement du premier terme du second membre de cette équation par rapport aux puissances de
changer une puissance quelconque
dans
et multiplier par
le premier terme, qui est indépendant de
On a ainsi
![{\displaystyle \sum p^{x}u=f-{\frac {p^{x}u}{1-p}}-{\frac {p^{x+1}{\frac {du}{dx}}}{(1-p)^{2}}}-{\frac {(p+1)p^{x+1}}{1.2.(1-p)^{3}}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750b8d0c2db0fa8335f8b8e6160bf9ab3e45b478)
Pour déterminer
on observera que l’intégrale
est nulle lorsque
et qu’elle se termine lorsque
étant la limite de la vie ; car alors elle embrasse les termes correspondants à tous les nombres
Désignons donc par ![{\displaystyle (u),\left({\frac {du}{dx}}\right),\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de7150f3a4205595982a63d80a37c0198c9ec9)