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babilité précédente devient ${\frac {1}{2}},$ lorsque $p=p',$ ce qui est visible d’ailleurs, les deux témoignages se détruisant réciproquement. En général, si un fait de ce genre est attesté par $r$ témoins et nié par $r'$ témoins, tous également véridiques, il est facile de voir que sa probabilité sera

${\frac {p^{r-r'}}{p^{r-r'}+(1-p)^{r-r'}}},$

c’est-à-dire la même que si le fait était attesté par $r-r'$ témoins.

48. Considérons présentement une chaîne traditionnelle de $r$ témoins, et supposons que le fait transmis soit la sortie du n^o $i$ d’une urne qui renferme $n$ numéros. Désignons par $y_{r}$ sa probabilité. L’addition d’un nouveau témoin changera cette probabilité en $y_{r+1},$ probabilité qui sera formée : 1^o du produit de $y_{r}$ par la véracité du nouveau témoin, véracité que nous désignerons par $p_{r+1}\,;$ 2^o du produit de la probabilité $1-p_{r+1}$ que ce nouveau témoin trompe, par la probabilité $1-y_{r}$ que le témoin précédent n’a pas dit la vérité, et par la probabilité ${\frac {1}{n-1}}$ que le nouveau témoin choisira le numéro sorti, dans le nombre des $n-1$ numéros autres que celui qui lui a été indiqué par le témoin précédent ; on aura donc

$y_{r+1}=p_{r+1}y_{r}+{\frac {1}{n-1}}(1-p_{r+1})(1-y_{r}),$

équation dont l’intégrale est

$y_{r}={\frac {1}{n}}+\mathrm {C} {\frac {(np_{1}-1)(np_{2}-1)\ldots (np_{r}-1)}{(n-1)^{r}}},$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, on observera que la probabilité du fait, d’après le premier témoignage, est, par ce qui précède, égale à $p_{1}\,;$ on a donc $y_{1}=p_{1},$ ce qui donne $\mathrm {C} ={\frac {n-1}{n}}\,;$ partant

$y_{r}={\frac {1}{n}}+{\frac {n-1}{n}}{\frac {(np_{1}-1)(np_{2}-1)\ldots (np_{r}-1)}{(n-1)^{r}}}.$