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cet événement est ${\frac {n-1}{n}}\,;$ mais le témoin qui trompe doit le choisir dans les $n-1$ numéros non sortis, et la probabilité de ce choix est ${\frac {1}{n-1}}.$ Il faut multiplier le produit de ces probabilités par la probabilité $(1-p)r(1-r')+(1-p')r'(1-r)$ que l’un des témoins prononçant trompe, tandis que l’autre témoin ne prononce point. On a ainsi

${\frac {(1-p)r(1-r')+(1-p')r'(1-r)}{n}}$

pour la probabilité correspondante à la quatrième hypothèse.

Maintenant on aura la probabilité de la sortie du n^o $i,$ en divisant la somme des probabilités relatives à la première et à la troisième hypothèse par la somme des probabilités relatives à toutes les hypothèses, ce qui donne, pour cette probabilité,

${\frac {pp'rr'+pr(1-r')+p'r'(1-r)}{pp'.rr'+r(1-r')+r'(1-r)+{\cfrac {(1-p)(1-p')rr'}{n-1}}}}.$

Ces exemples indiquent suffisamment la méthode d’assujettir au calcul des probabilités les témoignages.

50. On peut assimiler le jugement d’un tribunal qui prononce entre deux opinions contradictoires au résultat des témoignages de plusieurs témoins de l’extraction d’un numéro d’une urne qui ne contient que deux numéros. En exprimant par $p$ la probabilité que le juge prononce la vérité, la probabilité de la bonté d’un jugement rendu à l’unanimité sera, par ce qui précède,

${\frac {p^{r}}{p^{r}+(1-p)^{r}}},$

$r$ étant le nombre des juges. On peut déterminerp par l’observation du rapport des jugements rendus à l’unanimité par le tribunal au nombre total des jugements. Lorsque ce nombre est très grand, en le désignant par $n,$ et par $i$ le nombre des jugements rendus à l’unanimité, on aura