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a tous les termes, à partir de $s={\frac {1}{2}},$ en multipliant $y_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}$ par la suite des fractions ${\frac {2}{1}},{\frac {4}{3}},{\frac {6}{5}},\ldots .$ En désignant donc par $\square$ le terme correspondant à $n{\frac {1}{2}}$ et $s={\frac {1}{2}},$ terme qui, comme on l’a vu, est égal à ${\frac {4}{\pi }},$ on a

$\square ={\frac {2}{1}}y_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}},$

ce qui donne

$y_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}\square .$

À partir de $y_{{\frac {1}{2}},0}$ ou de l’unité, il obtient les termes successifs de la série, correspondants à $s$ entier, en multipliant successivement l’unité, par les fractions ${\frac {3}{2}},{\frac {5}{4}},{\frac {7}{6}},\ldots .$ Il forme ainsi la série horizontale suivante qui correspond à $n={\frac {1}{2}},$ et à $s$ successivement égal à $-{\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\ldots ,$

$(i)\qquad \qquad {\frac {1}{2}}\square ,\quad 1,\quad \square ,\quad {\frac {3}{2}},\quad {\frac {4}{3}}\square ,\quad {\frac {3}{2}}.{\frac {5}{4}},\quad {\frac {4}{3}}.{\frac {6}{5}}\square ,\quad \ldots ,$

série qui représente celle-ci.

${\frac {1}{\int dx\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}},\quad {\frac {1}{\int dx\left(1-x^{2}\right)^{0}}},\quad {\frac {1}{\int dx\left(1-x^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},\quad \ldots .$

La série $(i)$ donne généralement, $s$ étant un nombre entier,

${\begin{aligned}y_{{\frac {1}{2}},s-{\frac {1}{2}}}=&{\frac {4}{3}}.{\frac {6}{5}}\ldots {\frac {2s}{2s-1}}\square ,\\y_{{\frac {1}{2}},s-1}=&{\frac {3}{2}}.{\frac {5}{4}}\ldots {\frac {2s-1}{2s-2}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

(B)

$\square ={\frac {3.3}{2.4}}.{\frac {5.5}{4.6}}\ldots {\frac {(2s-1)(2s-1)}{(2s-2)2s}}{\frac {y_{{\frac {1}{2}},s-{\frac {1}{2}}}}{y_{{\frac {1}{2}},s-1}}}.$

Wallis considère ensuite que, dans la série $(i),$ le rapport de chaque terme à celui qui le précède d’une unité est plus grand que l’unité et diminue sans cesse, en sorte que l’on a

${\frac {y_{{\frac {1}{2}},s}}{y_{{\frac {1}{2}},s-1}}}>{\frac {y_{{\frac {1}{2}},s+1}}{y_{{\frac {1}{2}},s}}},$