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II.

L’expression de $\triangle ^{n}s^{i},$ donnée par la formule $(\mu ')$ du n^o 40 du Livre I^er, a été conclue de l’expression de $\triangle ^{n}{\frac {1}{s^{i}}},$ en changeant dans celle-ci $i$ en $-i.$ Ce passage du positif au négatif est analogue aux inductions que Wallis et d’autres géomètres ont si heureusement employées. Tous ces moyens d’invention, qui tiennent à la généralité de l’Analyse, exigent dans leur usage une grande circonspection, et il est toujours bon d’en démontrer directement les résultats. C’est ce que nous allons faire relativement à la formule $(\mu ').$

Considérons l’intégrale

$\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i+1}}},$

prise depuis $\varpi =-\infty$ jusqu’à $\varpi =\infty .$ Cette intégrale est égale à

${\frac {-{\sqrt {-1}}}{i}}{\frac {c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}}}+{\frac {as}{i}}\int {\frac {d\varpi c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}}}+\mathrm {const} .$

Cette constante est

${\frac {\sqrt {-1}}{i}}{\frac {c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1+\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}}},$

$\varpi$ étant supposé infini. En la réunissant au terme

${\frac {-{\sqrt {-1}}}{i}}{\frac {c^{-as\varpi {\sqrt {-1}}}}{\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}}},$

dans lequel on doit pareillement supposer $\varpi$ infini, on aura

${\frac {{\frac {\sqrt {-1}}{i}}\left\{{\begin{aligned}&\cos(as\varpi )\left[\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}-\left(1+\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}\right]\\+{\sqrt {-1}}&\sin(as\varpi )\left[\left(1-\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}+\left(1+\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{i}\right]\end{aligned}}\right\}}{\left(1+\varpi ^{2}\right)^{i}}}.$

Le numérateur de cette fraction est réel, ainsi que son dénomina-