la considération des passages du réel à l’imaginaire, passages que l’analyse précédente confirme.
III.
La formule
du no 42 du Livre Ier est fort remarquable : elle peut se démontrer de la manière suivante, qui montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences doit être arrêtée, lorsque la quantité sous l’exposant de la puissance devient négative.
Considérons l’intégrale
![{\displaystyle \int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\cos \left(zx-{\frac {m\pi }{2n}}\right)\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd39b02abbf4c139b76a179c84c3d036d910ce69)
et donnons-lui cette forme
![{\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{2n}}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\cos zx\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n}+\sin {\frac {m\pi }{2n}}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\sin zx\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ac59c9e8d1d7e4e2e03dc15133bcdee5250e22)
les intégrales étant prises depuis
nul jusqu’à
infini. Supposons d’abord
pair et égal à
on aura, par les formules connues,
![{\displaystyle \left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2i}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bc3f9d048e638286fb1ccb098da48bf6c16359)
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{i}}{2^{2i-1}x^{2i}}}\left\{{\begin{aligned}&\cos nx-\cos(n-2)x+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\cos(n-4)x-\ldots \\&\pm {\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0256860b9d0ba083df9c4108de47c599f8562a2a)
le signe
ayant lieu, si
est pair, et le signe
si
est impair. En multipliant cette équation par
on aura
![{\displaystyle \left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2i}\cos zx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b60d13b8034aa60fb60d1c10daf4a9f28140b40)
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{i}}{2^{2i}x^{2i}}}\left\{{\begin{aligned}&\cos(n\pm z)x-n\cos(n-2\pm z)x\pm \ldots \\&\pm {\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}\cos \left({\frac {1}{2}}zx\right)\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15a4adf1d344153ce7d36b61184348b75ec1789)
où l’on doit observer que, par
je comprends la somme des cosinus
et
étant ici au plus égal à
ou
Multiplions le second membre de cette