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Si l’on substitue cette valeur dans l’équation (2) et si l’on fait

${\begin{aligned}t_{2}^{(i)}=&t_{1}^{(i)}-\gamma _{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}t_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}},\\r_{2}^{(i)}=&r_{1}^{(i)}-\gamma _{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}r_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}},\\q_{2}^{(i)}=&q_{1}^{(i)}-\gamma _{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}q_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}},\\p_{2}^{(i)}=&p_{1}^{(i)}-\gamma _{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}p_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}},\\\alpha _{2}^{(i)}=&\alpha _{1}^{(i)}-\gamma _{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)}\alpha _{1}^{(i)}}{\mathrm {S} \gamma _{1}^{(i)2}}},\end{aligned}}$

on aura

(3)

$\varepsilon ^{(i)}=p_{2}^{(i)}z+q_{2}^{(i)}z'+r_{2}^{(i)}z''+t_{2}^{(i)}z'''-\alpha _{2}^{(i)}.$

En continuant ainsi, on parviendra à une équation de la forme

(4)

$\varepsilon ^{(i)}=p_{5}^{(i)}z-\alpha _{5}^{(i)}.$

Il résulte du n^o 20 du Livre II que, si la valeur de $z$ est déterminée par cette équation et que $u$ soit l’erreur de cette valeur, la probabilité de cette erreur est

${\sqrt {\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)2}}{2\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}\pi }}}c^{-{\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)2}}{2\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}}}u^{2}},$

$\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}$ étant la somme des carrés des restes des équations de condition, lorsqu’on y a substitué les éléments déterminés par la méthode la plus avantageuse. Le poids $\mathrm {P}$ de cette erreur est donc égal à ${\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)2}}{2\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}}}.$

Il s’agit maintenant de déterminer $\mathrm {S} p_{5}^{(i)2}.$ Pour cela, on multipliera respectivement chacune des équations de condition représentées par l’équation (1), d’abord par le coefficient du premier élément, et l’on prendra la somme de ces produits ; ensuite par le coefficient du second élément, et l’on prendra la somme de ces produits, et ainsi du reste. On aura, en observant que par les conditions de la méthode la plus