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On a vu, dans le numéro cité, que, les angles des triangles ayant été mesurés au moyen du cercle répétiteur, on peut supposer la probabilité d’une erreur $x$ dans la somme observée des trois angles de chaque triangle proportionnelle à l’exponentielle $c^{-kx^{2}},\ k$ étant une constante. De là il suit que la probabilité de cette erreur est

${\frac {dx{\sqrt {k}}c^{-kx^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

En multipliant cette différentielle par $x$ et l’intégrant depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, le double de cette intégrale sera la moyenne de toutes les erreurs prises positivement. En désignant donc par $\varepsilon$ cette erreur moyenne, on aura

$\varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}.$

On aura la valeur moyenne des carrés de ces erreurs en multipliant par $x^{2}$ la différentielle précédente et en l’intégrant depuis, $x=-\infty$ jusqu’à $x$ infini. En nommant donc $\varepsilon '$ cette valeur, on aura

$\varepsilon '={\frac {1}{2k}}\,;$

de là on tire

$\varepsilon '={\frac {\varepsilon ^{2}\pi }{2}}.$

On peut ainsi obtenir $\theta ^{2}$ au moyen des erreurs, prises toutes en plus, des sommes observées des angles de chaque triangle. Dans les cent sept triangles de la méridienne, la somme de ces erreurs est $173{,}82\,;$ on peut ainsi prendre, pour $\varepsilon ,\ {\frac {173{,}82}{107}}\,;$ ce qui donne, pour $26\varepsilon '$ ou pour $\theta ^{2},$

$\theta ^{2}=13\pi \left({\frac {173{,}82}{107}}\right)^{2}=107{,}78\,;$

cela diffère très peu de la valeur $108{,}134$ donnée par la somme des carrés des erreurs de la somme observée des angles de chacun des cent sept triangles. Cet accord est remarquable.