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nous aurons ensuite

${\begin{aligned}\delta \mathrm {A} ^{(i+1)}&=\alpha ^{(i)}-\alpha ^{(i-1)}+\ldots \pm \alpha +{\text{ϐ}}^{(i)}-{\text{ϐ}}^{(i-1)}+\ldots \pm {\text{ϐ}},\\{\frac {\delta \mathrm {I} ^{(i)}\mathrm {I} ^{(i+1)}}{\mathrm {I} ^{(i)}\mathrm {I} ^{(i+1)}}}&=\left({\text{ϐ}}^{(i)}+{\text{ϐ}}^{(i-1)}+\ldots +{\text{ϐ}}-\alpha ^{(i)}-\alpha ^{(i-1)}-\ldots -\alpha \right)\cot \mathrm {A} \\&-\left(\alpha ^{(i)}-\alpha ^{(i-1)}+\ldots \pm \alpha +{\text{ϐ}}^{(i)}-{\text{ϐ}}^{(i-1)}+\ldots \pm {\text{ϐ}}\right)\operatorname {tang} \mathrm {A} \\&+h{\text{ϐ}}-h'\alpha .\end{aligned}}$

La variation de la longueur totale $\mathrm {II} ^{(i+1)}$ sera donc

${\begin{aligned}&\delta \mathrm {II} ^{(i+1)}\\&=\left[(i+1)({\text{ϐ}}-\alpha )+i\left({\text{ϐ}}^{(1)}-\alpha ^{(1)}\right)+\ldots +\left({\text{ϐ}}^{(i)}-\alpha ^{(i)}\right)\right]a\cot \mathrm {A} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +(i+1)ha{\text{ϐ}}-(i+1)h'a\alpha \\&-\left(\alpha ^{(i)}+\alpha ^{(i-2)}+\alpha ^{(i-4)}+\ldots +{\text{ϐ}}^{(i)}+{\text{ϐ}}^{(i-2)}+{\text{ϐ}}^{(i-4)}+\ldots \right)a\operatorname {tang} \mathrm {A} .\end{aligned}}$

La quantité

$p^{2}-pq+q^{2}+p^{(1)2}-p^{(1)}q^{(1)}+q^{(1)2}+\ldots +p^{(i)2}-p^{(i)}q^{(i)}+q^{(i)2}$

devient ainsi, en négligeant les termes de l’ordre $i,$

${\begin{aligned}{\frac {(i+1)(i+2)(2i+3)}{2}}a^{2}\cot ^{2}\mathrm {A} &+3(h+h')(i+1)^{2}a^{2}\cot \mathrm {A} \\&+\left(h^{2}+hh'+h'^{2}\right)(i+1)^{2}a^{2}.\end{aligned}}$

Nommons $\mathrm {Q}$ cette quantité ; la probabilité que l’erreur de la ligne $\mathrm {II} ^{(i+1)}$ est comprise dans les limites $\pm s$ sera, par ce qui précède,

${\frac {2\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à

$t={\frac {3s}{2\theta }}{\sqrt {\frac {i+1}{\mathrm {Q} }}},$

$\theta ^{2}$ étant la somme des carrés des erreurs de la somme des trois angles des $i+1$ triangles.

Supposons que l’on ait, comme pour la partie de la méridienne dont nous avons parlé précédemment, vingt-six triangles, ce qui donne $i=25.$ Supposons encore que la longueur $\mathrm {II} ^{(i+1)}$ soit celle de cette partie de la méridienne ou de $466006^{\mathrm {m} }\,;$ alors on aura

$a={\frac {466006}{26}}.$