et
d’où l’on conclut
La fonction génératrice de sera donc
laquelle, développée selon les puissances de et de donnera, par le coefficient de l’expression de qui sera d’une forme semblable à celle de quoique un peu plus compliquée.
En ajoutant les deux fonctions génératrices et leur somme se réduit à celle-ci
dans laquelle le coefficient de est l’unité ; ainsi l’on a
et effectivement, la partie doit être nécessairement gagnée par l’un des joueurs, car l’un et l’autre sont certains de pouvoir extraire chacun de leur urne les nombres déterminés de boules blanches.
Maintenant, supposons et conséquemment on a
et
alors l’expression de devient l’unité ; ce qui est évident, puisque le joueur n’ayant plus de chances de perte, doit toujours finir par gagner.
Si, au contraire, on suppose et c’est-à-dire si le premier joueur compte un point avant chaque tirage du joueur , alors
et
étant plus grand que ou égal, l’expression se réduit à zéro ;