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dans laquelle on fait

${\begin{alignedat}{4}{\frac {pq'}{1-qq'}}=&m,\qquad &{\frac {p_{1}q'}{1-qq'}}=&m_{1},\qquad &{\frac {p'q}{1-qq'}}=&m',\qquad &{\frac {p'_{1}q}{1-qq'}}=&m'_{1},\\{\frac {pp'}{1-qq'}}=&n,&{\frac {p_{1}p'}{1-qq'}}=&n_{1},&{\frac {pp'_{1}}{1-qq'}}=&n',&{\frac {p_{1}p'_{1}}{1-qq'}}=&n'_{1}\,;\end{alignedat}}$

la fonction génératrice de la variable $z_{x,x'},$ donnée par cette équation, sera

$(c)\quad {\frac {\mathrm {A} +\mathrm {B} t'+\mathrm {A} '+\mathrm {B} 't}{1-mt-m_{1}t^{2}-m't'-m'_{1}t'^{2}-ntt'-n_{1}t^{2}t'-n'tt'^{2}-n'_{1}t^{2}t'^{2}}},$

$A$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions arbitraires de $t,\ \mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} '$ des fonctions arbitraires de $t',$ lesquelles seront déterminées au moyen des fonctions génératrices de

$z_{0,x'},\quad z_{x,0},\quad z_{1,x'},\quad z_{x,1}$

qui le sont elles-mêmes par les conditions du jeu.

On trouve, comme précédemment, que la fonction génératrice de $z_{0,x'}$ est zéro et celle de $z_{x,0},\ {\frac {t}{1-t}}.$

De l’équation générale, on déduit l’équation aux différences finies

$z_{1,x'}=m'z_{1,x'-1}+m'_{1}z_{1,x'-2},$

qui a lieu pour toutes les valeurs de $x'$ depuis $x'=2$ inclusivement, et qui donne conséquemment, pour la fonction génératrice de $z_{1,x'},$

${\frac {a+bt'}{1-m't'-m'_{1}t'^{2}}},$

$a$ et $b$ étant des constantes que l’on détermine au moyen des valeurs de $z_{1,0}$ et $z_{1,1}\,;$ et comme $z_{1,0}$ est égal à l’unité, $z_{1,1}$ est égal à $m'+m'_{1},$ et est en même temps le coefficient de $t'$ dans le développement de la fonction génératrice ; il en résulte

$a=1\quad$et$\quad b=m'_{1}\,;$

la fonction génératrice de $z_{1,x'}$ est donc

${\frac {1+m'_{1}t'}{1-m't'-m'_{1}t'^{2}}}.$