que l’autre joueur n’ait que des boules blanches marquées
1,
ou qui ne lui comptent qu’un point en sortant ; alors
et, par suite,
la fonction 
devient
![{\displaystyle ={\frac {t}{1-t}}{\frac {1}{1-\left[{\cfrac {m'+(n+n_{1}t)t}{1-(m+m_{1}t)t}}\right]t'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3600d0e24980736f37e471e0995b9282a102d97c)
en la développant suivant les puissances de 
le coefficient de 
sera
![{\displaystyle {\frac {t\left[m'+(n+n_{1}t)t\right]^{x'}}{(1-t)\left[1-(m+m_{1}t)t\right]^{x'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86570c653da46e2885b60fb9244d16b9df53d8b)
expression qu’il s’agit maintenant de développer par rapport aux puissances de 
pour avoir le coefficient de 
or ce coefficient sera la somme de tous les coefficients des puissances de inférieures ou égales à 
dans le développement de l’expression
![{\displaystyle {\frac {\left[m'+(n+n_{1}t)t\right]^{x'}}{\left[1-(m+m_{1}t)t\right]^{x'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b703dfc0808d82b1a83f0730d322d840319967da)
laquelle, en omettant les termes où les puissances de en dehors des binômes sont supérieures à peut être mise sous cette forme
![{\displaystyle m'^{x'}\left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {x'}{1}}\left({\frac {n+n_{1}t}{m'}}\right)t+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}\left({\frac {n+n_{1}t}{m'}}\right)^{2}t^{2}+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+2)}{1.2\ldots (x-1)}}\left({\frac {n+n_{1}t}{m'}}\right)^{x-1}t^{x-1}\\&+{\frac {x'}{1}}\left(m+m_{1}t\right)t\left[1+{\frac {x'}{1}}\left({\frac {n+n_{1}t}{m'}}\right)t+\ldots \right.\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+3)}{1.2\ldots (x-2)}}\left({\frac {n+n_{1}t}{m'}}\right)^{x-2}t^{x-2}\right]\\&+{\frac {x'(x'+1)}{1.2}}\left(m+m_{1}t\right)^{2}t^{2}\\&\times \left[1+\ldots +{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+4)}{1.2\ldots (x-3)}}\left({\frac {n+n_{1}t}{m'}}\right)^{x-3}t^{x-3}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x'(x'+1)\ldots (x'+x-2)}{1.2\ldots (x-1)}}(m+m_{1}t)^{x-1}t^{x-1}.\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c6083560c7de262f25b9d547421ac40c0ff806)
Si l’on rejette encore de cette série toutes les puissances de supé-
