auquel cas on a
partant, le plus petit indice de
est
et ainsi de suite. Cela posé :
Si l’on intègre la première équation, on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}=2^{n}\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a1151fc5c58549f2556b32a2b8cb293995bf0a)
étant arbitraire ; or, posant
d’où
on a
partant
Si l’on substitue cette valeur de
dans la seconde équation et qu’en suite on l’intègre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}=-2^{n-3}(n+\mathrm {H} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc64e12074249fc0521340c0d0542030f75e885d)
puisque l’équation différentielle en
commence à exister lorsque
la constante arbitraire
doit être déterminée par la valeur de
lorsque
or,
ne pouvant avoir d’exposant négatif dans l’expression de
il suit que
partant
donc
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}=-2^{n-3}(n-2)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658e9ee8351ec0b91267e8f354d5a07c3771b738)
et
![{\displaystyle \qquad \mathrm {B} _{n-2}=-2^{n-5}(n-4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59335f18f2bef8d4e7ca98fd21146e74ab9abd0)
Si l’on substitue cette valeur de
dans la troisième équation, et qu’en suite on l’intègre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} _{n}=2^{n-5}\left({\frac {n^{2}-7n}{2}}+\mathrm {H} \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd635b30f8f0d96170f4ed22ce5ab0f619e154ca)
or, posant
d’où
on a
et ainsi du reste. Donc
![{\displaystyle \sin nz=x\left[2^{n-1}u^{n-1}-{\frac {n-2}{1}}2^{n-3}u^{n-3}+{\frac {(n-3)(n-4)}{1.2}}2^{n-5}u^{n-5}\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac02ddb11610bb959824925c02db7035aa1002bf)
![{\displaystyle \left.-{\frac {(n-4)(n-5)(n-6)}{1.2.3}}2^{n-7}u^{n-7}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995ed90233ee13693f7f9fa2e3f12384fd0c6aeb)
Soit encore
on aura, en différenciant,
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2e902e81174a432ffa9a7e0198406a0a1c9be9)
et je veux avoir l’expression générale de
étant supposé con-