Je substitue au lieu de
leurs valeurs que donne la seconde équation, ce qui me donne une équation entre
et
en opérant sur celle-ci comme sur la première, j’aurai une équation entre
et
et, en continuant d’opérer ainsi jusqu’à la variable
je parviendrai à une équation de cette forme
![{\displaystyle {\overset {1}{y}}_{x}+b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5886f10112a8cc8723a363f8d00b9fb14c6ca7d9)
![{\displaystyle =a_{q}\left({\overset {q}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-2}+\ldots \right)+^{1}\!a_{q}\left({\overset {q}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {q}{y}}_{x-2}+\ldots \right)+\ldots +{\overset {q}{u}}_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914ff5dcd97a69da9fc966217763142ad964c3da)
Il faut maintenant déterminer
Pour cela, je substitue dans l’équation précédente, au lieu de
leurs valeurs que donne la
ième des équations rentrantes, ce qui donne
![{\displaystyle {\overset {1}{y}}_{x}+b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots =a_{q}\left(\mathrm {B} {\overset {q+1}{y}}_{x}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\ldots +\mathrm {X} _{x}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bbd7cfeaf438d157c57cb4030703d6b0fc0616)
![{\displaystyle +^{1}\!a_{q}\left(\mathrm {B} {\overset {q}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {B} {\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots +\mathrm {X} _{x-1}\right)+\ldots +{\overset {q}{u}}_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c812f4eb9b7b38e01fc2755850f6ff92daf54930)
d’où je conclus
![{\displaystyle {\begin{array}{r|r|rl}{\overset {1}{y}}_{x}+b_{q}&{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q}&{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots &=a\mathrm {B} \left({\overset {q+1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\+\mathrm {A} &+\mathrm {A} b_{q}&&+\left(^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} \right)\left({\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&+^{1}\!\mathrm {A} &&+\left(^{2}\!a_{q}\mathrm {B} +^{1}\!a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} +a_{q}\,^{2}\!\mathrm {B} \right)\left({\overset {q+1}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&&&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&&&+\mathrm {X} _{x}a_{q}\\&&&+\mathrm {X} _{x-1}\left(^{1}\!a_{q}+\mathrm {A} a_{q}\right)\\&&&+\mathrm {X} _{x-2}\left(^{2}\!a_{q}+\mathrm {A} \,^{1}\!a_{q}+^{1}\!Aa_{q}\right)\\&&&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&&&+{\overset {q}{u}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q}{u}}_{x-1}+^{1}\!\mathrm {A} {\overset {q}{u}}_{x-2}+\ldots \,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65091905244e2f225c48e8ab4c29eaa8a05626ea)
mais on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}+b_{q+1}{\overset {1}{y}}_{x-1}+^{1}\!b_{q+1}{\overset {1}{y}}_{x-2}+\ldots =&a_{q+1}\left({\overset {q+1}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+^{1}\!a_{q+1}\left({\overset {q+1}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\overset {q+1}{u}}_{x}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b6b56d1bbace15ea17d8b9133a2c8ce8862c0a)