d’où l’on aura
et
De plus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}^{1}\!a_{q+1}=&^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} +^{1}\!c_{q}+\mathrm {A} c_{q},\\^{1}\!c_{q+1}=&^{1}\!a_{q}\mathrm {C} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474feafda631e3ff4cbc67603f61ba3ed9480364)
Donc
![{\displaystyle ^{1}\!a_{q+1}=^{1}\!a_{q}\mathrm {B} +a_{q}\,^{1}\!\mathrm {B} +^{1}\!a_{q-1}\mathrm {C} +a_{q-1}^{1}\!\mathrm {C} +\mathrm {A} c_{q}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8f32fd9b6de591d928b61a54708952480750cb)
d’où l’on aura
et
et ainsi du reste ; enfin on déterminera
comme dans le problème précédent.
Si l’on suppose présentement
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {1}{y}}_{x}\left(1-c_{n}\right)+{\overset {1}{y}}_{x-1}\left(1-\mathrm {A} c_{n}-^{1}\!c_{n}\right)+\ldots &=a_{n}\left({\overset {n}{y}}_{x}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-1}+\ldots \right)\\&+^{1}\!a_{n}\left({\overset {n}{y}}_{x-1}+\mathrm {A} {\overset {n}{y}}_{x-2}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\overset {n}{u}}_{x}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b490c5e7d85ba82fbbdafcde9defc9d7d66ce7da)
On formera des équations entièrement semblables entre
et
et
et l’on aura un nombre
d’équations rentrantes à deux variables, telles que je les ai considérées dans le problème précédent.
La même méthode réussirait également si les équations rentrantes renfermaient quatre ou un plus grand nombre de variables.
XVIII.
Du Calcul intégral aux différences finies et partielles.
Je suppose que
représente une fonction quelconque des deux variables
et
je puis dans cette fonction faire varier
en regardant
comme constant ; je puis faire varier
en regardant
comme constant ; enfin, je puis faire varier
et
à la fois, leurs variations étant dans un rapport quelconque ; or, s’il existe entre
et ces différentes variations une équation quelconque, elle sera ce que je nomme équation aux différences finies et partielles.
représentant toujours une fonction de deux variables
et
signifient que
a diminué de une, de deux, … unités dans cette fonction ;