en observant que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}=\\&\qquad \qquad \qquad {\frac {(x-2)(x-3)\ldots (x-n)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}},\\&{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-2)}}=\\&\qquad \qquad \qquad {\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}+{\frac {(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-3)}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500e707c0f27bffcd4991ec41a99db7eacdc0839)
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{n}{\frac {(x-2)(x-3)\ldots (x-n)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+\left(\mathrm {C} _{n}+\mathrm {D} _{n}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\+\left(\mathrm {D} _{n}+\mathrm {E} _{n}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-3)}}+\ldots \\=\mathrm {C} _{n}{\frac {(x-2)\ldots (x-n)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+\left(\mathrm {D} _{n}+\mathrm {C} _{n-1}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\+\left(\mathrm {E} _{n}+\mathrm {D} _{n-1}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-3)}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb6912a3ac8b19c80e1fc184c1529c1632b960a)
En comparant terme à terme, on aura :
1o
donc
Or, posant
la quantité
![{\displaystyle {\frac {1(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b253a7321b00fe3053fd7492512cf7356264ab48)
se réduit à son premier facteur
et les quantités suivantes
![{\displaystyle {\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-2)}},\qquad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c366b3b04b20b6e208d3617ccdefb635ee5210)
deviennent nulles ; donc
Or on a
donc ![{\displaystyle \mathrm {A} =1=\mathrm {C} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a6634b7541feafabdb51f5333cd3f5284c556e)
2o
partant
et
Or posant
on a
par la formation des suites précédentes ; donc
et
On trouvera semblablement
donc
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=2^{x-1}{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa1d44886db8939883b008dadbd3207e9f4c4ec)