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Donc, puisque $\sideset {_{2}}{_{1}}y=0,$ on aura $\sideset {^{1}}{_{2}}{\mathrm {C} }=1\,;$ partant

$\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }=\mp {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-2)}},$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est pair, et le signe $-$ s’il est impair. On trouvera, par un calcul semblable,

${\begin{aligned}\sideset {^{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }=&\pm {\frac {1}{1.2}}{\frac {1}{1.2.3\ldots (n-3)}},\\\sideset {^{3}}{_{n}}{\mathrm {C} }=&\mp {\frac {1}{1.2.3}}{\frac {1}{1.2.3\ldots (n-4)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=\pm {\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}&\left[2^{x-1}-{\frac {n-1}{1}}3^{x-1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}4^{x-1}\right.\\-&\left.{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3}}5^{x-1}+\ldots \pm (n+1)^{x-1}\right],\end{aligned}}$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair, et le signe $-$ s’il est pair. Soient $n=4$ et $x=7\,;$ on aura

$\sideset {_{4}}{_{7}}y=-{\frac {1}{1.2.3}}\left(2^{6}-3.3^{6}+3.4^{6}-5^{6}\right)=910.$

XXII.

Problème VII. – L’équation différentielle

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{n}=&\mathrm {B} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\ldots \\+&\mathrm {C} _{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y+\ldots \end{aligned}}$

étant donnée, on propose de l’intégrer.

En suivant l’analyse du Problème précédent, je fais, $\sideset {_{1}}{_{x}}y=\varphi (x)$ et $\sideset {_{2}}{_{x}}y=\sideset {^{1}}{}{\varphi (x)}\,;$ l’équation proposée donnera donc

${\begin{aligned}\sideset {_{3}}{_{x}}y+\mathrm {A} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{3}=&\mathrm {B} _{3}.\sideset {^{1}}{}\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {B} }\sideset {_{1}}{}\varphi (x-1)+\ldots \\+&\mathrm {C} _{3}.\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {C} }.\ \varphi (x-1)+\ldots \end{aligned}}$