racines de l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {a_{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{n}}a}{f^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1e6ef0e264c3f5c72f446dcda44ae1383d1f11)
Or on trouvera facilement que cette équation est la même que celle-ci
![{\displaystyle 0=\left(1+{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right)\left(1+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f94f0ff5c963799e33928a6de5ece4d57db9f1)
![{\displaystyle \ldots \times \left(1+{\frac {\mathrm {A} _{n}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c56f572b5d7a340705e9137219c31dedf6a843)
d’où il est facile de conclure ![{\displaystyle a_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}a,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54c029a49d31c0f191ae6f7559922d8286ae2b3)
Pour déterminer présentement
j’observe que l’équation du Problème donne la suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y&-a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots +\mathrm {N} _{n}(1-a_{n}-\sideset {^{1}}{_{n}}a-\ldots )\\&+\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&\ \quad \mathrm {B} _{n}\left(\sideset {_{n-1}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {C} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7c6123cf49bd52074496dbe9f61a32dd5cd677)
Or on a, par l’équation ![{\displaystyle (\Lambda ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed7d0327b0042912d568923ad66e0d6cc1bd790)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y\quad &-a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\ldots =\sideset {_{n}}{_{x}}u,\\\sideset {_{n}}{_{x-1}}y&-a_{n}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\ldots =\sideset {_{n}}{_{x-1}}u,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcadb41dfd4a50fee2e9d97316fe345379c061d3)
de plus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sideset {_{n-1}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-\sideset {^{1}}{_{n}}a.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y-\ldots \\&=\sideset {_{n-1}}{_{x}}y-a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-\ldots +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y-a_{n-1}\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}.y-\ldots \right)+\ldots \\&=\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848e2e7266c31ea3a9cb4d5b9eb621f872032d7f)
pareillement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n-2}}{_{x}}y&-a_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n-2}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots +\mathrm {A} _{n-1}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \right)+\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99d51abe48543dc73a85f08ed9df9e20c01d389)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}y-a_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}y-\ldots \right)+\ldots \\&=\sideset {_{n-2}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+\ldots +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+A_{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}u+\ldots \right)+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c3da8130270732c9a4eb22c361e96abdedec69)