substituant cette valeur de
dans la seconde, on aura
![{\displaystyle a_{n}={\frac {\mathrm {A} _{n}+a_{n-1}+\mathrm {C} _{n}{\cfrac {\sideset {^{1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }-a_{n-2}\mathrm {B} _{n-1}}{1-\mathrm {C} _{n-1}b_{n-2}}}+b_{n-1}\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }}{1-\mathrm {C} _{n}b_{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0502643a7aabdf07f03f6b629ff26783718c88)
d’où l’on aura
partant
et ainsi du reste.
Enfin, on déterminera
par cette équation
![{\displaystyle u_{n}=u{\frac {\mathrm {C} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\ldots +\mathrm {N} _{n}(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ldots )}{1-\mathrm {C} _{n}b_{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e331a40d0548248caf0b38c2d4c74cbb51eff726)
L’équation
du second ordre par rapport à
sera donc abaissée à une autre
du premier ordre ; et l’on voit que la méthode précédente réussira généralement, quel que soit l’ordre de la proposée.
XXIV.
Des équations aux différences finies et partielles à quatre variables.
Jusqu’ici j’ai considéré les équations aux différences partielles entre trois variables
et
je vais présentement dire un mot de celles qui en renferment un plus grand nombre.
Je suppose que
représente une fonction des trois variables
et
dont je regarde les différences comme constantes et égales à l’unité ; je puis, dans cette fonction, faire varier
et
séparément, ou deux de ces quantités à la fois, ou toutes trois ensemble dans un rapport quelconque ; or, s’il existe une équation entre ces différentes variations, elle sera ce que je nomme équation aux différences partielles à quatre variables. Cela posé,
Problème IX. – Je suppose que l’on ait l’équation aux différences partielles à quatre variables
![{\displaystyle (\Omega )\ \ \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{m,n}}{_{x}}y&+\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{m,n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{m,n}}{_{x-2}}y+\ldots +\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} }\\&+\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{m,{n-1}}}{_{x}}y+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{m,{n-1}}}{_{x-1}}y+\sideset {^{2}_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }\sideset {_{m,{n-1}}}{_{x-2}}y+\ldots \\&=\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{{m-1},n}}{_{x}}y+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{{m-1},n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{2}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }.\sideset {_{{m-1},n}}{_{x-2}}y+\ldots \,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243fc6f945429bc99b3ce266f7918ea33ae84d72)
on propose de déterminer ![{\displaystyle \sideset {_{m,n}}{_{x}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ab38bf4f83ed3d0398287b4887dc0674d56c18)