Cette équation est aux différences partielles entre trois variables en considérant
comme constante, et elle est comprise dans celle du Problème VI de l’Article XX. Or, puisque l’équation
peut être transformée dans l’équation
on aura, par l’Article XX, les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{m}}{_{n}}a=&\sideset {_{m}}{_{n-1}}a+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a-\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} },\\\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}_{m}}{_{n-1}}a+\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }-\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }-\sideset {_{m}}{_{n-1}}a\left(\sideset {_{m-1}}{_{n}}a-\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {A} }\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{m}}{_{n}}u=&\sideset {_{m}}{_{n-1}}u\left(-\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }-\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\sideset {_{m-1}}{_{n}}a.\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\ldots \right)\\&+\sideset {_{m-1}}{_{n}}u\left(\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {^{1}_{m}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\ldots \right)\left(1-\sideset {_{m}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}_{m}}{_{n-1}}a-\ldots \right)\\&-\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} }\left(1-\sideset {_{m-1}}{_{n}}a-\sideset {^{1}_{m-1}}{_{n}}a-\ldots \right)\left(1-\sideset {_{m}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}_{m}}{_{n-1}}a-\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2963f832b0905978da45868a2cde1cec50e08c79)
Ces équations sont aux différences partielles à trois variables ; pour les intégrer, j’observe qu’elles sont toutes comprises dans celle-ci :
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \qquad \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {R} }.\sideset {_{n}}{_{x-1}y}+\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }.\sideset {_{n-1}}{_{x}}y+\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {M} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea85e74e14af9d6b2a7d25c283ac28dab855ab83)
Je suppose donc que, dans le cas de
on ait
Cela posé, on pourra toujours transformer l’équation
dans la suivante
![{\displaystyle (l)\qquad \qquad \sideset {_{n}}{_{x}}y=\sideset {_{n}}{_{x}}b.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}_{n}}{_{x}}b.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{2}_{n}}{_{x}}b.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y+\ldots +\sideset {_{n}}{_{x}}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07252bc54b0abb0ebc6d4a1beed460e16ddbbdf5)
d’où l’on aura celle-ci :
![{\displaystyle \sideset {_{n-1}}{_{x}}y.\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }=\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }\left(\sideset {_{n-1}}{_{x}}b.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}_{n-1}}{_{x}}b.\sideset {_{n-1}}{_{x-2}}y+\ldots \right)+\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }.\sideset {_{n-1}}{_{x}}z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74064cc65c283081be7d28d186023db3e48e1947)
Si l’on y substitue, au lieu de
leurs valeurs tirées de l’équation
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}y=&\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {R} }.\sideset {_{n}}{_{x-1}}y+\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {M} }\\&+\sideset {_{n-1}}{_{x}}b\left(\sideset {_{n}}{_{x-1}}y-\sideset {_{n}}{_{x-1}}{\mathrm {R} }.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\sideset {_{n}}{_{x-1}}{\mathrm {M} }\right){\frac {\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }}{\sideset {_{n}}{_{x-1}}{\mathrm {T} }}}\\&+\sideset {^{1}_{n-1}}{_{x}}b\left(\sideset {_{n}}{_{x-2}}y-\sideset {_{n}}{_{x-2}}{\mathrm {R} }.\sideset {_{n}}{_{x-3}}y-\sideset {_{n}}{_{x-2}}{\mathrm {M} }\right){\frac {\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }}{\sideset {_{n}}{_{x-2}}{\mathrm {T} }}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\sideset {_{n}}{_{x}}{\mathrm {T} }.\sideset {_{n-1}}{_{x}}z,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec20fe714ec61f97f27773e2bc7be46b39c9d31)