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MÉMOIRES

sur

LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES

et sur leurs usages

DANS LA THÉORIE DES HASARDS^[1].

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Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris (Savants étrangers),
Tome VI, p. 353 ; 1774.

1. On peut concevoir ainsi la formation des suites récurrentes : si $\varphi$ exprime une fonction quelconque de $x,$ et que l’on y substitue successivement, au lieu de $x,1,2,3,\ldots ,$ on formera une suite de termes dont je désigne par $y_{x}$ celui qui répond au nombre $x\,;$ cela posé, si dans cette suite chaque terme est égal à un nombre quelconque de termes précédents, multipliés chacun par une fonction de $x$ à volonté, la suite est alors récurrente.

Telle est l’idée la plus générale que l’on puisse s’en former, et c’est sous ce point de vue que je les ai considérées dans un Mémoire antérieur présenté à l’Académie ^[2].

Je suppose maintenant que $\varphi$ est une fonction de $x$ et de $n,$ et que l’on y substitue successivement au lieu de $x$ et de $n$ les nombres $1,2,3,\ldots \,:$ on formera pour chaque valeur de $n$ une suite dont je désigne le terme répondant aux nombres $x$ et $n$ par $\sideset {_{n}}{_{x}}y\,;$ or, si $\sideset {_{n}}{_{x}}y$ est égal à un nombre quelconque de termes précédents pris dans un nombre quel-

1. Par M. de la Place, Professeur à l’École Royale militaire.
2. Voir le Tome IV des Mémoires de Turin.