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On aura pareillement

\sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {M} }={\frac {q^{n-2}}{r^{n-2}}}{\frac {p^{2}}{r^{2}}}{\frac {1-q}{r}}{\frac {(n-1)n}{1.2}}+{\frac {q^{n-1}}{r^{n-1}}}{\frac {p}{r}}\left({\frac {1-p}{r}}n+\mathrm {C} \right)\,;

or, posant $n=1,\ \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {M} }={\frac {p}{r}}\left({\frac {1-p}{r}}\right)\,;$ donc

\mathrm {C} =0.

En continuant d’opérer ainsi, on trouvera généralement

{\begin{aligned}\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {M} }&={\frac {p^{m-1}q^{n-2}}{r^{m+n-3}}}{\frac {1-q}{r}}{\frac {(n-1)n\ldots (n+m-3)}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\&+{\frac {q^{n-1}p^{m-2}}{r^{m+n-3}}}{\frac {1-p}{r}}{\frac {n(n+1)\ldots (n+m-3)}{1.2.3\ldots (m-2)}}.\end{aligned}}

J’observerai ici, relativement à ces expressions de $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} }$ et de $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {M} }$ que

{\frac {n(n+1)\ldots (n+m-2)}{1.2.3\ldots (m-1)}}={\frac {m(m+1)\ldots (m+n-2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}

et que

{\frac {n(n+1)\ldots (n+m-3)}{1.2,3\ldots (m-2)}}={\frac {(m-1)m\ldots (m+n-3)}{1.2.3\ldots (n-1)}}\,;

d’où il résulte que les quantités $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {N} }$ et $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {M} }$ restent les mêmes lorsqu’on y change $p$ en $q,\ m$ en $n,$ et réciproquement ; ce qui doit être d’ailleurs par la nature du problème. On en doit dire autant des autres quantités $\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {L} },\sideset {_{m}}{_{n}}{\mathrm {K} },\ldots .$