Il ne faut point tenir compte, dans cette équation, des termes ![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x-3}}y,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7712e532b06f3c28436a5df6ce87e2ee26ff55a2)
parce que ces termes sont nuls dès que
à une valeur quelconque, vu que, si le gain est pair ou impair au coup
il est nécessairement impair ou pair aux coups
Cela posé, l’équation
donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}y=a_{n-1}.\sideset {_{n-1}}{_{x-3}}y&+\sideset {^{1}}{_{n-1}}a.\sideset {_{n-1}}{_{x-5}}y+\ldots +u_{n-1}\\&+b_{n-1}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b.\sideset {_{n}}{_{x-4}}y+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d273a45af031c4175d84589fac3c45b379e47a1)
Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
leurs valeurs que donne l’équation
on aura, après avoir ordonné,
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}y=\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)\sideset {_{n}}{_{x-2}}y+\left(\sideset {^{1}}{_{n-1}}a+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b\right)\sideset {_{n}}{_{x-4}}y+\left(\sideset {^{2}}{_{n-1}}a+\sideset {^{2}}{_{n-1}}b\right)\sideset {_{n}}{_{x-6}}y+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b240aa887160bd7722db3b8c50803027a0ab69c)
![{\displaystyle +\sideset {_{n+1}}{_{x-1}}y-a_{n-1}.\sideset {_{n+1}}{_{x-3}}y-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a.\sideset {_{n+1}}{_{x-5}}y-\ldots +u_{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0932a190daf8f93074dfb997049dcd7adc42902a)
En comparant cette équation avec l’équation
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}=&1,\\a_{n}=&a_{n-1}+b_{n-1},\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&-a_{n-1},\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}}{_{n-1}}a+\sideset {^{1}}{_{n-1}}b,\\\sideset {^{2}}{_{n}}b=&-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a,\\\sideset {^{2}}{_{n}}a=&\sideset {^{2}}{_{n-1}}a+\sideset {^{2}}{_{n-1}}b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u_{n}=&u_{n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c120b5e31ae99bbd093244404ee026a8f0b3f8)
Pour intégrer ces équations, il est nécessaire de faire les considérations suivantes :
La première équation commence à avoir lieu lorsque
.
La deuxième ne commence à exister que lorsque
ainsi, la constante arbitraire qui vient en l’intégrant doit se déterminer au moyen de la valeur de
lorsque
.
La troisième équation commence à exister lorsque
La quatrième ne commence à exister que lorsque
et la constante arbitraire qui vient en l’intégrant doit se déterminer au moyen de la valeur de
lorsque
et ainsi du reste.