XLI.
Dans l’application des équations précédentes à l’Astronomie physique, elles deviennent fort simples ; car, les corps célestes étant à très peu près sphériques, on peut négliger les quantités proportionnelles au carré de l’excentricité de ces corps ; or, les termes
et
sont toujours de l’ordre de ces excentricités. D’ailleurs, l’état d’équilibre de toutes les parties d’une planète exige que le mouvement de rotation se fasse au moins à très peu près autour d’un de ses axes principaux, abstraction faite de l’action de toute force étrangère ; car, sans cela, la planète changeant à chaque instant d’axe et de vitesse de rotation, changerait continuellement de figure ;
et
seraient donc nuls à très peu près si les quantités ![{\displaystyle (\psi \mathrm {Y} -\psi '\mathrm {Z} '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2733589a0c269c731d9866bd5942a2f10b94d6d)
et
s’évanouissaient ; partant, ils sont du même ordre que ces quantités ; ainsi l’on peut négliger leurs carrés, leurs produits deux à deux, et les termes qui, multipliés par
ou
le seraient encore par
ou
ou ![{\displaystyle \left(b^{2}-c^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878d830f78a231fff5ddfdd0ebabc3ec4bc6e261)
Soit donc
![{\displaystyle {\frac {\psi \mathrm {Y} -\psi '\mathrm {Z} '}{2\mathrm {M} a^{2}}}=\mathrm {R} ,\quad {\frac {\psi \mathrm {X} -\psi ''\mathrm {Z} ''}{2\mathrm {M} a^{2}}}=\mathrm {R} '\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0a3bcdc1f7bb7f5b4e9698b63d9c1e783a0fd1)
et
![{\displaystyle \quad {\frac {\psi '\mathrm {X} '-\psi ''\mathrm {Y} ''}{2\mathrm {M} a^{2}}}=\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edece1ef8359da347e9303246ba7ac35308c5e55)
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0=&\mathrm {R} dt^{2}&&-d\varepsilon d\theta &&+d(d\varpi \cos \theta ),\\0=&\mathrm {R} 'dt^{2}&&-d^{2}\theta &&-d\varepsilon d\varpi \cos \theta ),\\0=&\mathrm {R} ''dt^{2}&&-d^{2}\varepsilon &&+d(d\varpi \sin \theta ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b67c44846cdde99cc6eaac902f3d41ae70b8338)
Ces équations sont sous une forme aussi simple que l’on puisse désirer, et, en les joignant à celles-ci.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=&{\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right),\\0=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }},\\0=&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{dt^{2}}}+{\frac {s}{r^{4}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }}+{\frac {s\psi ''-\psi }{\mathrm {M} r}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94536c095f63600af54aef0f4e6981e173fcd791)