Or, si on la décompose en deux, l’une
perpendiculaire à
et l’autre suivant
on aura, pour la première,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {T} \alpha rd\varphi }{\theta dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af54fc4d63631a8775945175d6ff21b30a7552c)
et, pour la seconde.
![{\displaystyle -{\frac {\alpha \mathrm {ST} dr}{\theta r^{2}dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3967d1c5ec9c129d268e5e1f53e15b3eb5657e)
De là, on conclura facilement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\psi ''}{p}}=&-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}-{\frac {\alpha \mathrm {ST} dr}{\theta r^{2}dt}},\\{\frac {\psi '}{p}}=&-{\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta rdt}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8edbf42eea915a539522085280312fa4be26962f)
partant, on aura
(3)
|
|
|
(4)
|
|
|
Puisque les orbites des planètes sont presque circulaires, je fais
et![{\displaystyle \varphi =nt+\alpha x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785567a812dd2f95cd32760a6a62cee71022660a)
ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre
je puis supposer
constant, ce qui donne
![{\displaystyle \int {\frac {\alpha \mathrm {ST} d\varphi }{\theta }}={\frac {\alpha \mathrm {ST} nt}{\theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d3732d474f1e425376886a0d7bba349c4f28f4)
en faisant commencer l’intégrale avec
ensuite l’équation (4) donne
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}-{\frac {c^{2}}{a^{4}}}\right)+\left({\frac {3c^{2}}{a^{4}}}-{\frac {2\mathrm {S} }{a^{3}}}\right)y+{\frac {2\mathrm {S} }{a^{3}}}{\frac {c\mathrm {T} }{a\theta }}nt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05bc8f8c99a60c03f25dab0f411e8f6d867d49d5)
Il est clair que
doit être de l’ordre de
et, comme
est arbitraire, je supposerai
ce qui donne
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {c^{2}}{a^{4}}}y+{\frac {2c^{3}}{a^{6}}}{\frac {a}{\theta }}\mathrm {T} nt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e94cabcc383172c66adb23dce34952626beb44)