on aura donc
![{\displaystyle \delta \mu na^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+\delta \mu 'n'a'^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma '^{2}\right)=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4554e7d9f2f395990aebde0f11d35e443887592c)
étant une constante ; or on a
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{3}}}=n^{2}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba23243b3f52999eb5e422155229fa34354475b)
et
![{\displaystyle \qquad {\frac {1}{a'^{3}}}=n'^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27b08c8bfc75118d6097b4d907d25885aa454b4)
l’équation précédente deviendra, par conséquent.
![{\displaystyle n^{-{\frac {1}{3}}}\delta \mu \left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)+n'^{-{\frac {1}{3}}}\delta \mu '\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma '^{2}\right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c3afb8e62acdc1a2f9af379ffccc4e2d19bac7)
Si l’on suppose actuellement qu’après plusieurs siècles, les orbites des deux planètes changent par leur action mutuelle, et que l’on exprime par la caractéristique
les variations de leurs éléments, on différenciera l’équation précédente par rapport à
en regardant
comme constante ; ce qui établit une relation entre les inégalités des deux planètes, relation à laquelle les observations doivent satisfaire, si ces planètes n’ont éprouvé d’autre action sensible que leur gravitation réciproque. On aura donc
(Z)
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Si l’on nomme
le temps après lequel on suppose que les éléments
et
ont varié des quantités
et
et que l’on suppose que durant ce temps Jupiter ait fait
révolutions, on aura (voir le Mémoire de M. de Lagrange)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2\delta \alpha e=&\ \quad {\frac {7''{,}4254i}{57^{\circ }17'44''}}i,\qquad &2\delta \alpha e'=&-{\frac {32''{,}6086}{57^{\circ }17'44''}}i{\frac {n'}{n}},\\\delta \alpha \gamma =&-{\frac {1''{,}0030}{57^{\circ }17'44''}}i,&\delta \alpha \gamma '=&\ \quad {\frac {2''{,}7449}{57^{\circ }17'44''}}i{\frac {n'}{n}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd0080840f1cf0398bb472de2ec35bdfd5391d4)