on aura
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en observant dans le développement du second membre de cette équation d’appliquer les exposants des puissances de
à la caractéristique
et de changer en intégrales finies les différences finies négatives.
XII.
Voici maintenant une méthode directe pour trouver ces théorèmes.
Je représente par
la quantité
lorsqu’on y suppose
devenir
Soit
on aura, en différenciant par rapport à
![{\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial x}}={\frac {\partial s}{\partial \alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbd77fbae3ecf92df56bbbddbf58aba7b57efa7)
donc
![{\displaystyle s=\int d\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cd83c353c04b2ed20dd8a488ea641615e2064a)
et
![{\displaystyle u'=u+\int d\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966ec5379309257099fc1f75eb0a108c650b4ad2)
on aura pareillement
![{\displaystyle {\frac {\partial u'}{\partial x}}={\frac {du}{dx}}+\int d\alpha {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b2e53d0e6c3289b0372059a4002f8b4360df95)
et ainsi de suite ; d’où l’on tire
![{\displaystyle u'=u+\alpha {\frac {du}{dx}}+h\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+h'\alpha ^{3}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd8ac428aee566ebcf6c5633a5dc9f48442b630)
et
![{\displaystyle (\sigma )\qquad \qquad \qquad \Delta u=\alpha {\frac {du}{dx}}+h\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+h'\alpha ^{3}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecf6aad23e204b1931d953f65c39f49f147d851)
étant des coefficients constants et indépendants de
On aura pareillement
![{\displaystyle \Delta u'-\Delta u=\Delta ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial u'}{\partial x}}-{\frac {du}{dx}}\right)+h\alpha ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u'}{\partial x^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168c314f46892baa0661fd4c44ca9328eb7d7256)
d’où je conclus
![{\displaystyle \Delta ^{2}u=\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+p\alpha ^{3}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2dee298983fc6bb0c96988ea66e05eddd6b2ae)