Je suppose, dans les équations
et
ce qui donne
![{\displaystyle u={\frac {du}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\ldots =\int udx=\int ^{2}udx^{2}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba299c778d0f65ad80aa3d5a8ecdf0db05a9a7d)
et
![{\displaystyle \Delta u=e^{x}\left(e^{\alpha }-1\right),\qquad \Delta ^{2}u=e^{x}\left(e^{\alpha }-1\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b287202f746ea41f1d726d15a4b93d93bf2ebb00)
et généralement
![{\displaystyle \Delta ^{n}u=e^{x}\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b623a652f3f3fbab12fbca8ba8010e0849e979d4)
ensuite
![{\displaystyle \Sigma u={\frac {e^{x}}{e^{\alpha }-1}},\qquad \Sigma ^{2}u={\frac {e^{x}}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ab6fb86a48a7ae2d071e6c4463af32f66dd1e)
et généralement
![{\displaystyle \Sigma ^{n}={\frac {e^{x}}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca608f8d81c5adc7682ab61fbd7bc8019bb52ab)
cela posé, les équations
et
donneront : la première
![{\displaystyle \left(e^{\alpha }-1\right)^{n}=\alpha ^{n}+q\alpha ^{n+1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f30c621082adaa2421dbcf1669c78002392f535)
la seconde
![{\displaystyle {\frac {1}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}}}={\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {r}{\alpha ^{n-1}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502db6416163914eeb0252b437756c9217029fc4)
donc on aura
![{\displaystyle \Delta ^{n}u=\left(e^{\alpha {\frac {du}{dx}}}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13c21b234f7cb5364d8ef8da8286e9f80071b39)
et
![{\displaystyle \Sigma ^{n}u={\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {du}{dx}}}-1\right)^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db348604780e7613ffc536805a8a685107ba491b)
pourvu que, en développant les seconds membres de ces équations, on applique les exposants des puissances à la caractéristique
et qu’on change les différences négatives en sommes.
L’équation
donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{n}u\quad =&\alpha ^{n}\ \ \ {\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\quad +\alpha ^{n+1}.q{\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}+\ldots ,\\\Delta ^{n+1}u=&\alpha ^{n+1}{\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}+\alpha ^{n+2}.q{\frac {d^{n+2}u}{dx^{n+2}}}+\ldots ,\\\Delta ^{n+2}u=&\alpha ^{n+2}{\frac {d^{n+2}u}{dx^{n+2}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b35b4a14687318067406c1dacdb4fc5f082f2fe)