ait cette forme
étant fonction de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial y}}=1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d3e047655ba3e9c7a4c20fed98ad9573c4e6ce)
et
![{\displaystyle \qquad -{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cd800fc393abe24aa565fb25cd1595a5ae124b)
Si, dans la quantité
on substitue
au lieu de
et qu’on la développe dans une suite ascendante par rapport à
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle h=l+\mu ^{n'}l'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938216b05cde4fcd57cb0c7e2d30e9e08c3415a1)
étant fonctions de
seul, on aura
![{\displaystyle p={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mu ^{n}l+\mu ^{n+n'}l'+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff354b04e8681d5a6b03269b000fd29cf1d174b)
donc, en différenciant par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial y}}=n\mu ^{n-1}l+(n+n')\mu ^{n+n'-1}l'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf50d99e6bfa833391d1c4a1e3a039c0da58881)
Cette expression de
devient infinie par la supposition de
car il est clair que, par cette supposition, le premier terme
devient infini et infiniment plus grand que les suivants. L’équation
rend donc nulle la quantité
ainsi
est facteur de
On prouverait, par le même procédé, qu’il est facteur de
Pour trouver ce facteur, je différentie l’équation
et je suppose qu’elle donne
L’équation
satisfera visiblement à cette équation différentielle ; mais elle satisfait à celle-ci,
partant elle rendra nulle la quantité
sera donc facteur commun aux deux quantités
et
de plus, il est visible que tout facteur commun à ces deux quantités est une solution particulière de l’équation différentielle
car,
étant ce facteur, l’équation
fait évanouir les quantités
et
elle fera donc éva-