que
est facteur de cette quantité. Je suppose que de l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{dx{\cfrac {\partial p}{\partial ^{2}y}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdd4e0abe139d2ba9c7931362f47735c7448b6e)
on tire par la différentiation
![{\displaystyle d^{2}y=\gamma dx^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134385f41eadb2c3bfc77f8a6be86e3aa184c4de)
sera facteur commun aux deux quantités
et
De plus, tout facteur commun à ces deux quantités et qui renfermera
égalé à zéro, sera une solution particulière de l’équation différentielle
![{\displaystyle d^{2}y=pdx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c706d733e64521fb03c69d884061cab88e7608)
Puisque
![{\displaystyle \gamma ={\frac {-{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial ^{2}y}}-{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y\partial ^{2}y}}{\cfrac {dy}{dx}}}{dx{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial ^{2}y^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40d4e49ab469638a341d65b1300aecf4dc86ee0)
on aura le théorème suivant :
Théorème. – L’équation différentielle
étant donnée, si l’on différentie
par rapport à
seul, que l’on nomme
cette différence divisée par
que l’on différentie
en regardant
comme constant ; soit
cette différence, et
la différence de
prise en ne faisant varier que
et divisée par
cela posé, si
est une solution particulière du premier ordre de l’équation
sera facteur commun aux deux quantités
et
et réciproquement, tout facteur du premier ordre, commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution particulière de la proposée. (Théorème analogue à celui de l’article VI, sur les équations différentielles du premier ordre.)
On peut généraliser ce théorème et l’étendre aux équations différentielles de tous les ordres.