Donc
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x^{2}}}=-{\frac {\partial \mu }{\partial y}}\left(q\mu ^{n}{\frac {d^{i}\mu }{dx^{i}}}+q'\mu ^{n'}{\frac {d^{i'}\mu }{dx^{i'}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ed815e04f86fb4986f17be01fb2a7f33821655)
Cela posé, voici comment on reconnaîtra si
est ou n’est pas une solution particulière. Prenez les différences successives
elles seront toutes données en fonctions de
et
examinez ensuite la loi de ces différences. Si l’on peut les faire évanouir toutes en supposant le rapport de
à
fini ou infiniment grand, l’équation
est une intégrale particulière ; autrement, elle n’est qu’une solution particulière.
Je suppose que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=\mu ^{n}h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c173bb4d11f26b43f483358b56fbc140fcdfc5)
étant fonction de
et de
on trouvera facilement que
n’est intégrale particulière que dans le cas où
est égal ou plus grand que l’unité. Ainsi dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=a\left[\left(1-x^{3}\right)^{4}-\left(1-y^{3}\right)^{4}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67cc11101c9f23f7734bb8625fc7eec11e7ef18)
à laquelle satisfait l’équation
si l’on fait
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=a\left\{\left(1-x^{3}\right)^{4}-\left[1-\left(x+\mu \right)^{3}\right]^{4}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cdf28479d54d90e7a1863dd0ea3aa758ea2f777)
en réduisant en suite ascendante par rapport à
on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=12a\mu x^{2}\left(1-x^{3}\right)^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9524d0abf515f8ae9aa057af1d6ab52d89d188)
Or l’exposant de
étant, dans ce cas, égal à l’unité, il suit que
est une intégrale particulière ; mais dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\sqrt {x^{2}-y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2193993f7f80e08c836a578741cb7a51499335)