Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/36

Or, si l’on suppose $r+1=-t,$ l’équation (10) devient

$0=1+\mathrm {AK} t+\mathrm {BK} ^{2}t(t-1)+\mathrm {DK} ^{3}(t(t-1)(t-2)+\ldots \,;$

donc, en comparant cette équation avec l’équation (9), on aura

$t=l,$

partant

$r_{1}+1=-p,\qquad r_{2}+1=-p',\qquad r_{3}+1=-p'',\qquad \ldots .$

Ensuite l’équation (10) peut être mise sous cette forme

$0=\pm \mathrm {V} \left(r-r_{1}\right)\left(r-r_{2}\right)\left(r-r_{3}\right)\ldots ,$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est pair, et le signe $-$ s’il est impair ; d’où il est facile de conclure

${\begin{aligned}\mathrm {Q} _{'}=&\pm \mathrm {V} \left(r_{1}-r_{2}\right)\left(r_{1}-r_{3}\right)\left(r_{1}-r_{4}\right)\ldots \\=&\pm \mathrm {V} (p-p')(p-p'')(p-p''')\ldots .\end{aligned}}$

Or l’équation (9) donne

${\frac {1}{\mathrm {V} }}=(-p)(-p')(-p'')(-p''')\ldots \,;$

donc

${\frac {1}{\mathrm {Q} _{'}}}={\frac {pp'\ldots p^{n-1}}{(p'-p)(p''-p)\ldots }},$

pareillement

${\frac {1}{\mathrm {Q} _{''}}}={\frac {pp'\ldots p^{n-1}}{(p-p')(p''-p')\ldots }},$

Substituant donc dans la formule (K), au lieu de ${\frac {1}{\mathrm {Q} _{'}}},{\frac {1}{\mathrm {Q} _{''}}},\ldots ,\ r_{1},r_{2},\ldots$ ces valeurs, elle se changera dans la formule (H).