et
étant fonctions de
et
Or, si l’un des deux exposants,
ou
est moindre que l’unité, on trouvera facilement
par l’article précédent. Reste donc à déterminer
lorsque le moindre des exposants
et
est égal ou plus grand que l’unité. Or, dans ce cas, l’équation
satisfait à l’équation de condition, et la règle de M. Euler est exacte. Pour le faire voir, j’observe que l’équation de condition, pour que
![{\displaystyle d\mu =\mu ^{n}hdx+\mu ^{n'}h'dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d91908c5b2a6989e7077abcefc28ef4864b96b)
soit intégrable, est
![{\displaystyle 0=(n'-n)hh'\mu ^{n+n'-1}+\mu ^{n+n'}\left(h{\frac {\partial h'}{\partial \mu }}-h'{\frac {\partial h}{\partial \mu }}\right)-\mu ^{n}{\frac {\partial h}{\partial y}}+\mu ^{n'}{\frac {\partial h'}{\partial x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53a34d7ba7b37a357e8fbc8328aed5acbfd8424)
Il est clair que, si
et
sont égaux ou plus grands que l’unité, cette quantité devient nulle par la supposition de
car les quantités
et
ne peuvent devenir infinies en vertu de cette supposition, comme il est aisé de s’en convaincre en réduisant
et
en suites ascendantes par rapport à
les quantités
peuvent le devenir, si, par exemple,
et
renferment des termes tels que
étant positif et moindre que l’unité ; mais la différence de ces termes prise par rapport à
et multipliée par
sera toujours nulle en y faisant
puisque
et
sont supposés plus grands que l’unité. L’équation de condition
![{\displaystyle 0=(n'-n)\mu ^{n+n'-1}hh'+\mu ^{n+n'}\left(h{\frac {\partial h'}{\partial \mu }}-h'{\frac {\partial h}{\partial \mu }}\right)-\mu ^{n}{\frac {\partial h}{\partial y}}+\mu ^{n'}{\frac {\partial h'}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b9309061dc5d61c0d1c1d6a40b4bb7b08afe73)
est donc satisfaite par la supposition de ![{\displaystyle \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fbd9b60e51f99639d432b9b86c1f1f486e1b2)
On pourrait craindre, cependant, que celle-ci
![{\displaystyle 0=p{\frac {\partial q}{\partial z}}-q{\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial q}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dc28fbf047269dd43871a5edf73b22331b650e)
ne le fût pas en vertu de cette même supposition ; car, bien que ces deux équations soient les mêmes, cependant il peut arriver que, pour avoir la seconde, il fallût diviser la première par un facteur ; et, si ce facteur était une puissance positive de
alors l’équation
qui