ce qui donne
![{\displaystyle y=l+p\sin t+q\cos t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ccdc012a8dd1abed11d71db3fc0647066a9691)
et
étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de
et de
lorsque
c’est l’expression de
lorsqu’on y suppose
je fais ensuite
![{\displaystyle y=l+p\sin t+q\cos t+\alpha z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b10753c87c3399f1e6c1251323ed47e639098b9)
substituant cette valeur dans l’équation (1), elle donne, en négligeant les quantités de l’ordre
et en l’intégrant,
![{\displaystyle z=-{\frac {2l^{2}+p^{2}+q^{2}}{2}}-lqt\sin t+lpt\cos t+{\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}\cos 2t+{\frac {pq}{3}}\sin 2t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c9c68dfaa99ffa1bee82e2a61437808f1c9192)
Il est inutile d’ajouter ici de nouvelles constantes, parce qu’elles sont déjà renfermées dans la première valeur de
partant, on aura
(2)
|
|
|
Que l’on fasse présentement, dans l’équation (1),
étant supposé constant, elle deviendra
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dt_{1}^{2}}}+y-l+\alpha y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0b0bc231f9f1b73bc89bc1ebabaa26a22b64c8)
d’où l’on tirera en l’intégrant, en négligeant les quantités de l’ordre
et en ajoutant les constantes arbitraires de manière qu’elles coïncident avec celles de l’équation (2), lorsqu’on suppose ![{\displaystyle \alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4ec9c2dc0e4e0d05eb056027a9e4ba6b421f4f)
(3)
|
|
|
et
étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de
et de
lorsque
Au lieu d’intégrer deux fois l’équation (1) : 1o sans y substituer
au lieu de
2o en se servant de cette substitution, il sera plus simple de faire usage d’abord de cette sub-