L’équation (3) deviendra donc, en y substituant au lieu de
et de
ces valeurs, et en y supposant
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha {\frac {2l^{2}+f^{2}+h^{2}}{2}}+f\sin(\mathrm {T} +\alpha l\mathrm {T} )+h\cos(\mathrm {T} +\alpha l\mathrm {T} )\\&+\alpha {\frac {h^{2}-f^{2}}{6}}\cos(2\mathrm {T} +2\alpha l\mathrm {T} )+\alpha {\frac {fh}{3}}\sin(2\mathrm {T} +2\alpha l\mathrm {T} ).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0496165e987ea33f7856ad48eb77da9f74c8f7)
C’est l’expression de
après le temps quelconque ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Si l’on voulait porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre
on ferait
![{\displaystyle y=l-\alpha {\frac {2l^{2}+f^{2}+h^{2}}{2}}+f\sin(t+\alpha lt)+h\cos(t+\alpha lt)+\ldots +\alpha ^{2}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9eec1bfe6f8e848cb4f3ef3e1f770fdba6317fe)
et l’on opérerait comme on vient de le voir, en faisant varier les nouvelles arbitraires
et
et ainsi de suite.
L’équation que je viens d’intégrer est très simple, aussi ne l’ai-je choisie que pour faire entendre cette nouvelle méthode ; mais, si l’on avait, entre les
variables
les
équations suivantes, lesquelles sont de la même nature que celles du mouvement des planètes,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ +q^{2}\ y\ =\alpha \left\{{\begin{aligned}(0)y\ &+(0,1)\ \ y'\ \ \cos(q'\ -q)t\\&+{\overline {(0,1)}}{\frac {dy'}{dt}}\,\sin(q'\ -q)t\\&+(0,2)\ \ y''\ \,\cos(q''-q)t\\&+{\overline {(0,2)}}{\frac {dy''}{dt}}\sin(q''\,-q)t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecdc45a4af3f001b8ff0a830696809679295a0a)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+q'^{2}y'=\alpha \left\{{\begin{aligned}(1)y'&+(1,0)\ \ y\quad \cos(q\ -q')t\\&+{\overline {(1,0)}}{\frac {dy}{dt}}\ \ \sin(q\,\ -q')t\\&+(1,2)\ \ y''\ \,\cos(q''-q')t\\&+{\overline {(1,2)}}{\frac {dy''}{dt}}\sin(q''-q')t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cd5eacb8ecbf108cfa83f3f1e1708b198ccd6d)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+q''^{2}y''=\alpha \left\{(2)y''+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db232136306c8e3aa57b3dee764a8c93730a677)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c71390f6729d8306fb618c91a8889a4b4e35ccc)