étant des constantes arbitraires dépendantes des valeurs de
lorsque
or, si l’on avait
on aurait
donc
ne diffère de
de
que de quantités de l’ordre
soit donc
et l’on aura, en comparant les équations
et
et en négligeant les quantités de l’ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta l=&-\alpha \mathrm {T} \left\{(0)h+h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\},\\\delta h=&\ \quad \alpha \mathrm {T} \left\{(0)l\ +l'\ \left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+l''\ \left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943fd0893b39d3e1ab690404507c8ec2f0e4ef02)
Soit
et
seront, comme l’on voit, fonctions de
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta h=&x{\frac {dh}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\delta l=&x{\frac {dl}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}l}{dx^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af409ff8468a77bb389a2386e42735f12a3699f0)
donc, en comparant les termes multipliés par
on aura
![{\displaystyle (\chi )\left\{{\begin{aligned}&{\frac {dh}{dx}}\ =\quad (0)l\ +l'\ \left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+l''\ \left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots ,\\&{\frac {dl}{dx}}\ \,=-(0)h-h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]-h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]-\ldots ,\\&\mathrm {on\ trouvera\ de\ la\ m{\hat {e}}me\ mani{\grave {e}}re} \\&{\frac {dh'}{dx}}\,=\quad (1)l'+l\ \left[(1,0)-{\overline {(1,0)}}\right]+l''\ \left[(1,2)-{\overline {(1,2)}}\right]+\ldots ,\\&{\frac {dl'}{dx}}\,\ =-(0)h'-h\left[(1,0)-{\overline {(1,0)}}\right]-h''\left[(1,2)-{\overline {(1,2)}}\right]-\ldots ,\\&{\frac {dh''}{dx}}=\quad (2)l''+l\ \left[(2,0)-{\overline {(2,0)}}\right]+l'\ \left[(2,1)-{\overline {(2,1)}}\right]+\ldots ,\\&{\frac {dl''}{dx}}\ =-(2)h''-h\left[(2,0)-{\overline {(2,0)}}\right]-h'\left[(2,1)-{\overline {(2,1)}}\right]-\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d744f7cd7cbd9eb2dd96761080a65332d4cf63)
Il ne s’agit plus maintenant que d’intégrer ces équations, et pour cela on fera, ainsi que M. de Lagrange l’a pratiqué dans un cas à peu près semblable (voir son excellente pièce Sur le mouvement des nœuds