Pour intégrer ces équations, on fera
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&\ r+\alpha \left(fr+\sideset {^{1}}{}fs+\sideset {^{2}}{}fr_{1}+\sideset {^{3}}{}fs_{1}\right)+\alpha \left(\sideset {^{4}}{}fr+\ldots \right)+\ldots ,\\q=&\ s+\alpha \left(gs+\ldots \right)+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}p=&\sideset {^{1}}{}r+\alpha \left(m\sideset {^{1}}{}r+\ldots \right)+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}q=&\sideset {^{1}}{}s+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf1e97618e1fece2ce8cf9582d951d8799009c)
En substituant ces valeurs de
dans les quatre équations précédentes, on formera, par la méthode du même article, quatre équations linéaires entre
et
d’où l’on aura, comme dans l’article cité, les valeurs de
et
après le temps quelconque
aux quantités près de l’ordre
VII.
La méthode précédente d’intégrer par approximation les équations différentielles, en faisant varier les constantes arbitraires des intégrales approchées, est, si je ne me trompe, très féconde dans l’Analyse ; pour en donner un usage fort étendu, je suppose que l’on ait une équation différentielle d’un ordre quelconque, entre
étant supposé constant, et
étant des quantités qui croissent fort lentement ; on intégrera d’abord cette équation, en regardant
et
comme constants ; je suppose que l’intégrale soit
![{\displaystyle z=\varphi (t,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3616975d6bc23f16c791c1f368ebe5e22901875)
étant des constantes arbitraires dépendantes des valeurs de
à l’origine de l’intégrale que je fixe lorsque
Cette valeur de
pourra être employée, sans erreur sensible, pour une valeur de
fort grande ; car, les variations de
étant supposées de l’ordre
si l’on regarde
comme infiniment petit, il faut supposer à
une valeur infinie, pour que les quantités qu’on néglige, en regardant
comme constants, puissent devenir sensibles ; mais, lorsque
est infini, ces quantités peuvent être finies ; ainsi le problème qu’il s’agit de résoudre est d’avoir une expression de
telle, que les quantités de l’ordre
qu’on y néglige ne puissent devenir finies, après une valeur de
infiniment grande.