et, au commencement de l’intervalle compris entre
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&\varphi \ \ (h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\{\frac {dz}{dt}}\ =&\varphi '\ (h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\varphi ''(h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1530c8d2e502555b59be752fe0009ba0f7fda433)
Ces valeurs de
sont les mêmes à la fin du premier intervalle qu’au commencement du second ; on aura donc les équations
![{\displaystyle (\sigma )\quad \left\{{\begin{aligned}\varphi \ (h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots )=&\varphi \ (h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\\varphi '(h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots )=&\varphi '(h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca07a9ce616ab16a557c5e371f25ea6f7097b71)
Si
étaient invariables, on aurait
![{\displaystyle a=a',\qquad b=b',\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5350563e5d06c4383e8db844a3715fdcc94f2134)
soit donc
![{\displaystyle p'=p+\delta p,\qquad q'=q+\delta q,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a577938e06748e773cf394f2290da1f34ac6c6d7)
étant des quantités extrêmement petites de l’ordre
soit, de plus,
![{\displaystyle a'=a+\delta a,\qquad b'=b+\delta b,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560edf861ff1d9f2e52c41349ba962c14358895c)
seront de l’ordre
les équations
donneront, cela posé, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \delta p^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4801e7f96ae580e1c9819b1004f6e93e6ae525)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\delta p{\frac {\partial z}{\partial p}}\quad \ \ +\delta q{\frac {\partial z}{\partial q}}\quad +\ldots +\delta a{\frac {\partial z}{\partial a}}\quad +\ldots +\delta b{\frac {\partial z}{\partial b}}\quad +\ldots ,\\0=&\delta p{\frac {\partial ^{2}z}{\partial p\partial t}}\ \ +\delta q{\frac {\partial ^{2}z}{\partial q\partial t}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial ^{2}z}{\partial a\partial t}}+\ldots +\delta b{\frac {\partial ^{2}z}{\partial b\partial t}}+\ldots ,\\0=&\delta p{\frac {\partial ^{3}z}{\partial p\partial t^{2}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efad3a8b2ad95dc7788eb5ffde30dd51bd6116b1)
les quantités
représentent les coefficients de ![{\displaystyle dp,dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dce5073a7bfac1b63401fe78d358011b1ef34a)
![{\displaystyle \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58412e7ad9ce0fa1037dcea4e8a8d95ba79f7d72)
dans la différentiation de
en y faisant varier ![{\displaystyle p,q,\ldots \,;a,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d970077fac4a6ded792b5319b4b3b0b8fef981d)