l’inclinaison de l’orbite sur le plan fixe ; donc, si l’on nomme
la surface de l’orbite projetée, on aura, en portant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}{\mathrm {E} }=a^{2}\pi \left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=a^{2}\pi \left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)={\frac {1}{2}}c\mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f81235342844568882229b1e480d63a3ff3f394)
mais, par l’article IX,
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S+P} }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59127af97115960febbce9ec5d581381816ea0e7)
donc
![{\displaystyle c={\sqrt {a(\mathrm {S+P} )}}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)=na^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0746d1cda062925c4add4ab4142f5a51e75235f2)
Les expressions précédentes de
et
satisfont aux équations (10), (11) et (12), lorsqu’on y suppose
Ce sont, par conséquent, les valeurs de
et
des équations (>). Pour déterminer présentement
et
il faut différentier les équations (13), (14) et (15) par rapport à
et leur ajouter les termes multipliés par
dans les équations (10), (11) et (12), ce qui donne
(16)
|
|
|
![{\displaystyle (17)\left\{{\begin{aligned}0={\frac {d^{2}\delta r}{dt^{2}}}&-{\frac {2c\delta c}{r^{3}}}+{\frac {3c^{2}\delta r}{r^{4}}}-{\frac {2(\mathrm {S+P} )\delta r}{r^{3}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3(\mathrm {S+P} )s\delta s}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\\&-{\frac {2c\mathrm {P} '}{r^{3}}}\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\frac {\mathrm {P} '}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\left[r-r'\cos(\varphi '-\varphi )\right]+{\frac {\mathrm {P} '\cos(\varphi '-\varphi )}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6405abf88b7145bedae2aa9e2e40e2652379da)
![{\displaystyle (18)\left\{{\begin{aligned}0={\frac {d^{2}\delta s}{dt^{2}}}&+{\frac {2drd\delta s}{rdt^{2}}}+{\frac {2dsd\delta r}{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}\delta s}{r^{4}}}+{\frac {2sc\delta c}{r^{4}}}-{\frac {4c^{2}s\delta r}{r^{5}}}\\&+{\frac {2c\mathrm {P} 's}{r^{4}}}\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\frac {\mathrm {P} '}{r}}\left[s'-s\cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\right].\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bb38d6f1ea01fdc0277492b507463c37953c31)