Supposons présentement que l’expression de
ait un dénominateur et que l’on ait
![{\displaystyle y={\frac {ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+a''x^{\mu ''}+\ldots }{bx^{r}+b'x^{r'}+b''x^{r''}+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd24d8291495f2ee10a0446ca66fb3ad789439a)
soit
le plus grand des exposants
et
le plus grand des exposants
on aura, en divisant le numérateur et le dénominateur de l’expression de
par ![{\displaystyle x^{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dc0fa27307412255e935cf5a3a1e65f8b0bc94)
![{\displaystyle y={\frac {ax^{\mu -r}+a''x^{\mu '-r}+\ldots }{b+b'x^{r'-r}+\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a387b993c2e1e1507a1477952da77fe2ce6276b)
En réduisant le dénominateur en série, on aura pour
une suite infinie de cette forme
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}x^{\mu -r}+hx^{l}+h'x^{l'}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473c06176ddfbe4ffb171fbffeeb2fe531ac4b97)
les exposants
allant toujours en décroissant ; or, si l’on substitue, au lieu de
cette valeur dans l’équation (E) de l’article VI, en supposant
on prouvera, comme ci-dessus, que
doit être égal à zéro ou à l’unité ou à
Si
on aura
donc
![{\displaystyle y={\frac {ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+\ldots }{bx^{\mu +{\frac {1}{2}}}+b'x^{r'}+\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b680acf451000d3d261af67ab125a5109637cc)
or, en faisant
négatif,
est réel ou imaginaire ; dans le premier cas, le dénominateur de l’expression de
et dans le second cas, son numérateur devient imaginaire ; on doit donc rejeter l’équation ![{\displaystyle \mu -r=-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bd682322ad7444e7122a46e5e796f60441ec13)
Si
est égal à zéro, on a l’unité ; en divisant le numérateur de l’expression de
par son dénominateur, on pourra la mettre sous cette forme
![{\displaystyle y=hx+h'+{\frac {cx^{i}+c'^{i'}+\ldots }{bx^{r}+b'^{r'}+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2566fab9ee0cbfb91c54704eb0dd357a56aeefc)
ne surpassant
ni de zéro ni de l’unité, et puisque cette valeur de
satisfait à l’équation (E), en supposant
celle-ci
![{\displaystyle y={\frac {cx^{i}+c'^{i'}+\ldots }{bx^{r}+b'^{r'}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049001d8a8fa96cd9161ee9f5175a756536d2f00)